借用“可视化”策略，促进学生数学理解

周艳霞

研究表明，视觉可刺激一个人大脑中的关联，从而有效提升一个人内在的深层洞察力。人的思维是一个黑匣子，是不可视的。在数学教学中借用“可视化”策略，能促进学生的数学理解。不仅如此，可视化策略还能让学生的数学思维成为可观察、可触摸、可把握的对象，从而让学生的数学学习真正发生。

一、直观展示：促进学生的工具性理解

英国著名数学教育心理学家斯根普认为，理解有三个层次，即工具性理解、关系性理解和创新性理解。工具性理解是一种语义性理解，即理解“是什么”，或者是指一种程序性理解，即理解“怎樣操作”。因此，工具性理解也就是一种实体性理解，在数学中主要体现为对数学概念、定义、法则等的理解。

斯根普指出，工具性理解也应是一种理解，我们不应该忽视它。工具性理解不是死记硬背，而是要求学生把握数学的本质。著名科学家钱伟长曾经打过一个比方：一个屠夫，他不需要知道刀的制造原理，而只需要去找寻最合适的刀，并且用好这把刀去解决实际问题。比如教学《用数对确定位置》，许多教师在设计时都力图展现笛卡尔创建直角坐标系的过程，比如从地球仪的经纬度引入，比如从蜘蛛在天花板上的故事引入，比如从现实场景如教室的座位引入等。其实，这些都是比较肤浅的设计。用数对确定位置，关键的节点在于“原点”的设置。这里，教师完全可以直接直观地出示教室的示意图，然后提问学生：某某是第几排第几座？通过不同的回答，让学生感受到“用规定的数对确定位置”的优越性，同时让学生自己去找寻原点。教学中，教师还可以通过设置同一列、同一行、列行都相同的学生的座位，让学生感受到数对的功能，这些都能促进学生的工具性理解。

学生对数学知识的工具性理解，是学生数学理解的一部分。抽象的数学知识图像化、建构数学知识的直观化，都有助于学生对数学知识的工具性理解。教学中，教师不能一味依赖惯常的教学路径，而应关注学生的数学理解，要为学生的数学工具性理解找准方向、提供可能。

二、关联展示：促进学生的关系性理解

关系性理解是对数学知识产生过程、数学知识结构的理解。作为教师，要将数学知识的关联展示出来，以便促进学生的关系性理解。“关联”既包括数学知识的形成过程，又包括揭示数学知识的内在结构、特质等。斯根普教授认为，关系性理解包括证明性理解、论说性理解、反思性理解、结构性理解等诸多层次。显然，结构性理解被置于最高层。

比如教学《多边形的内角和》（苏教版四下），在学习三角形的内角和基础上，学生的数学探究分为两类：一类是模仿三角形的内角和探究法，用量角法、折角法、撕角法等对四边形、五边形等多边形进行探究，这是学生基于工具性理解的探究;另一类是学生在三角形内角和与四边形、五边形等多边形之间寻找关系，这是一种基于关系性理解的探究。当学生运用量角法、撕角法、折角法等进行探究遭遇障碍后，学生纷纷转向关系的探究。学生用自己的方式来分四边形、五边形，分法出乎意料。有学生在多边形边上取一个点，有学生在多边形顶点处取一个点，有学生在多边形内部取一个点，有学生在多边形外部取一个点，由此将多边形分成若干个三角形等。作为教师，我们要展示各种研究方法之间的关联，并引导学生进行比较，让学生明晰各种方法的优劣。在比较中，让学生说一说每种探究方法，学生就会理解“从一个顶点来分三角形最方便，因为没有产生多余的角”。这样，学生从原先的不同方法的“多点结构”水平发展、提升为“关联结构”，从算法的多样化走向算法的优化。

关系性理解能揭示数学知识的发生过程，所以能将隐性知识显性化;关系性理解能对相关知识进行逻辑链接，能将数学知识提升为数学思想方法，形成个体数学图式网络。关系性理解不仅让学生“知其然”，更让学生“知其所以然”。学生对数学知识的关系性理解，能强化学生对知识的记忆，让学生形成特有的知识体系。

三、图式展示：促进学生的创新性理解

学生的数学学习，从根本上说就是构建一种认知图式，或者说是新旧认知图式的同化与顺应。当新旧认知图式发生碰撞、产生矛盾冲突时，就需要学生能主动地对原先的认知图式进行革新，这时学生往往就能产生创新性认识。在数学教学中，教师可以运用图式将这种知识变革、变化过程展示出来，从而让学生的思维触手可及。图式展示，能促进学生对数学知识的创新性理解。

比如教学苏教版五下《因数和倍数》《分数的意义和性质》《分数的加法和减法》等相关内容，这些内容中的知识点联系紧密、关系复杂，学生容易张冠李戴、云里雾里。因此，教师有必要借助图式向学生展示知识节点、知识之间的关联。通过图式，让学生厘清知识间的属种关系、逻辑关系等。如从“因数”“公因数”“最大公因数”，学生能看到数学知识的逻辑发展;通过“公因数”“最大公因数”并结合“分数的基本性质”，学生能创新性地建构“约分”的概念，并能展开“一次约分法”和“逐次约分法”，从中领悟到“公因数和最大公因数”运用时的巧妙;通过对公因数与约分、公倍数与通分、通分与分数加减法计算、约分与分数加减法计算结果的化简等的关系比较，学生能感受到数学知识间的对应关系。笔者在教学中还充分发挥学生的主观能动性，让学生自己整理，建构图式。不同学生基于不同的着眼点，用自己的方式建构出个性化的知识图，如树状图、网络图等。一种图式、一种逻辑，不同图式显现的是不同的逻辑，但最终都显现出学生的创新性理解。

当学生在数学学习过程中剥离了知识的非本质因素，透视了本质因素存在之后，就能产生创新意向，形成创新内驱力。创新性理解是学生在认识知识本质、结构的基础上，对已有知识进行提高、推广和拓展的过程。概言之，学生创新性理解就是不仅“知其然”，而且“知其所以然”，并且“知其新的然”。

数学理解有三个层次，即工具性理解、关系性理解和创新性理解。在数学教学中，通过直观的手段，将数学知识可视化、将学生的数学思维可视化，能让学生直观洞察到数学知识的本质、关系，能捕捉到学生的思维漏洞、盲区，从而让学生的数学学习动态展现、有迹可循、触手可及，也让教师的教学更具针对性、实效性。