基于“关键能力”的小学数学核心内容教学

孔凡哲、史宁中两位教授联合发文指出：“中国学生发展的核心素养必须涵盖三种成分，其一是学生数学发展所必需的关键能力……” [1]而数学核心内容，能聚焦数学学科本质，是学科最基础和最关键的内容，反映了相关数学内容所蕴含的一般思想和思维方式。那么析取数学核心内容进行教学，无疑就能使得数学学科的关键能力可调控、可干预、可观测、可评价，从而切实提升数学核心素养。为此，我们开展了“基于学科关键能力发展的数学核心内容教学设计研究”的探讨，并成功申报为江苏省十三五重点规划自筹课题。

一、对学科关键能力的认识

1. 关键能力

在德国、澳大利亚、新加坡和我国台湾地区，人们把职业生涯中除岗位专业能力之外的基本能力，称为“关键能力”;换句话说，即能适应时代赋予不同的岗位变换，并伴随人终身的可持续发展能力。我国香港地区则将“关键能力”称之为“基础技能”“共同能力”。全美测评协会称“关键能力”为“软技能”;等等。2017年9月，中共中央、国务院印发了《关于深化教育体制机制改革的意见》，于其中提出四种关键能力：“认知能力、合作能力、创新能力、职业能力。”

可见，各方所言的“关键能力”伴随着人的终身成长，仅靠学校教育无法完成，更不可能仅由具体的学科教育完成。但是《关于深化教育体制机制改革的意见》提出了：“要注重培养支撑终身发展、适应时代要求的关键能力。在培养学生基础知识和基本技能的过程中，强化学生关键能力培养。”那么课堂教学中，老师就要关注学生的逻辑推理、好奇心、想象力、自我管理、勇于探索、积极动手实践、创新思维等等。而数学是“思维的体操”，是“科学的皇后”，具有抽象性、逻辑的严密性、应用的广泛性，其很多属性契合关键能力的培养要求，所以数学学科可以探索出相应的学科关键能力。

2. 数学能力

其实，在提倡学科关键能力之前，数学能力的研究（见表1），已为小学数学课堂教学提供了理论支撑。而且由于“数学能力是一种特殊的能力，与数学活动相适应，是保证数学活动顺利完成所必须具备的人的心理特征。” [2]所以培养学生的数学能力，一直是小学数学教学的主要目的之一。不过，究竟哪些数学能力就是小学数学学科关键能力，业界尚未达成共识。

3. 小学数学学科关键能力

江苏省基础教育质量监测中心发布的《江苏省义务教育学科核心素养与关键能力框架（小学数学）》这样说明：“基于学业质量评价的需要，我们对小学生的数学核心素养所体现出的关键能力进行了分解。”（见表2）

尽管上述框架尚是试行阶段，然而提出了小学数学关键能力是核心素养的评价立足点，并由此明晰了学生通过数学课堂，将学习什么、可以怎么学习;老师也有了教什么、为什么这样教的依据。但是，还需将小学数学关键能力进行界定，并进一步指出小学数学关键能力到底是哪些能力。

其实，庄惠芬老师早在2015年就撰文提出：小学数学学科有六大关键能力，包括：数学理解与数学表征能力、数学建模能力、数学逻辑思维能力、数学问题解决能力、数学推理与论证能力、数学交流与表达能力 [7]。

也有专家提出：数学关键能力包括数学抽象能力，数学推理能力，数学建模能力，直观想象能力，运算能力，数据分析能力 [8]。

既然是数学关键能力，就应该是数学之外的学科教育培養不出来的能力;或者说数学关键能力应具有小学数学意义上的独特价值，那么交流、推理、理解、问题解决、表达、抽象等等能力之前，还可冠以语文、物理、体育等等学科，如语文表达、美术抽象、音乐交流……

再以“关键”审视，要培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六个既相对独立、又相互交融的数学核心素养，非具有数学运算能力、数形结合能力、空间想象能力、定量分析能力不可。再以“数学”察之，非逻辑思维能力不可。

二、对核心内容的认识

检索1950年到2011年的教学大纲或标准，尽管由于时代局限，没有提出“核心内容”这一概念，但是为了突出小学数学在提高全民族素质中的作用，都在甄选重要的内容贯彻教育思想、提出教学任务。

2017年11月教育部颁布了《中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科教学）》，于其中指出：“数学教师培训目标的确定以数学学科核心内容为依据。而数学核心内容，在小学划分为9个一级指标和22个二级指标。”[9]由此，“数学学科核心内容”已经成为“核心素养”视域下的教学应然之路。

综合表3、表4的观点，我们课题组就“什么知识可成为小学数学核心内容”网络问卷苏州辖区的数学老师，有效答卷人数为3306人，参与问卷的老师们来源于10个区市（如图1），荣誉称号涵盖江苏省特级、苏州市学科带头人、各区市学科带头人等（如图2），职称分布从高级教师到未定级教师都有（如图3）。答卷人数众多，保证了样本的信度;答卷群体的广泛性，保证了样本的效度。

统计分析问卷，可知“数的概念”“数学符号”“数的运算”“代数初步”“图形的认识”“图形的测量”“数据分析”“解决问题”等8项，是老师们心目中的“核心内容”，其具体占比情况如下：“数的概念”2358人，占71.3%;“数学符号”2404人，占72.7%;“数的运算”2464人，占74.5%;“代数初步”2372，占71.7%;“图形的认识”2334人，占70.6%;“图形的测量”2287人，占69.2%;“数据分析”2336人，占70.7%;“解决问题”2346人，占71.0%。

我们问卷结果和朱立明、马云鹏教授研究一致，均认为：数学核心内容即是数学学科体系中主要内容和关键内容 [10]。再沟联表2和表3，我们主张小学数学学科核心内容从两个角度加以界定：

其一，纵观数学知识形成的脉络和数学逻辑发展的结构，相较于其他内容，核心内容的教学能关联一个或数个领域的数学教学，具有引子价值或桥梁作用，因此更具有奠基性和“种子”性。

其二，以高观点的视角来看，核心内容总是能概括一类数学知识，寻找出这一类知识不同阶段的共性，所反映的也总是一般思想方法或思维方式。

三、以核心内容的教学承载关键能力

比照上述界定标准，“数的概念”“数学符号”“数的运算”“图形的认识”“图形的测量”“数据分析”等核心内容在思维方式上有同一性，但其数学本质都相对独立，而且这些内容也能厘定出相对应的关键能力。例如“数的概念”“图形的认识”重点在于数形结合，“数的运算”重点在于数学运算，“图形的测量”重点在于逻辑思维。所以这些数学知识就成了小学数学学科核心内容的元素，当然，内容和能力之间会出现交叉现象。

正是因为核心内容对应了关键能力，这样课堂教学就能实现核心素养的可教可评，下面以“数学符号”之“=”和“图形的测量”之“认识厘米”的教学片段为例展开。

数学符号是约定俗成的标记，某种程度上就是日常教学中所言的“规定”。但是这个“规定”却不是凭空而来的，每一个符号都是数学的发展的必然，都是数学扩张的需要。那么数学符号的学习，可以说就是让学生历经数学知识的发展，从而经历思维的扩疆。所以数学符号的学习不是“说明文”——介绍产品，而是“议论文”——摆事实讲道理。讲道理，自然孕育了推理、抽象等关键能力。

回看案例1的教学，老师通过问题倒逼的方式，让学生感悟到了“=”是为了“算”，更是为了“思”，即：要为下一步得出结果，就要说理“是什么相等”“凭什么相等”“怎么这样就相等了”。这样的教，学生自会减少一些研究者所观察到的认知缺陷：“12+2=14-6=8。”“等号的右边是数才算得到了结果。”“算式就是算式，不能看成一个结果。”

更为重要的是，“=”是数学的根基，直观感受里等号表示着量的相等，藏其后的是，数学通常就是用相等这样的关系，解释肉眼看不见的运动、变化、规律……这样，“=”的教学就成了引子，启发着学生在推理中构建各种求真、求序的理性关系：约等于、大于、小于、大于或等于、远大于、远小于、属于、包含、全等……如是，在提升推理能力的同时，又不断发展着抽象能力、建模能力。

【案例2：“认识厘米”】老师让学生估一估纸条中的线段大约长几厘米，再让学生用尺子实际测量线段的长度。老师巡视，手机抓拍没有对齐尺子的0刻度的（图5）、尺子摆放倾斜的情况（图6），及时投影，评议出合理的测量方法（图7）。最后出示没有0刻度的尺子（图8），提问学生可否度量。

一开始学生感知了1厘米的长度，但仅有1厘米的经验还不够，度量结果更多的是多个1厘米，学生需要对多个1厘米究竟有多长，做适度表征。老师及时让学生估一估，发展了学生直观想象能力，积累了单位长度的量感。之后的实际度量，不但让学生检验了其感觉的正确与否，而且让学生再说明为什么要对齐0刻度，尺子为什么不能倾斜摆放，如何合理摆放尺子才是正确的，学生将感官聚焦到理性思辨，发展了其推理能力。在学生自认为学习完毕的时候，提出没有0刻度可否度量，学生的推理更进一步。原来测量除了正确与否，还有好坏之分，更有趣的是在“疑无路”的时候，数学的理性可以帮助学生找到“又一村”。

尽管杨志宇认为小学数学核心内容的教学存在两大问题：一是教师对数学核心内容的认识还不到位，不能从数学课程观的角度来看待数学，只是孤立地对数学知识进行讲授;二是教师对核心知识的教学缺乏科学设计，不能抓住数学核心内容的本质来设计教学的各个环节 [12]。而从上文两个教学案例可以窥见，我們课题组的努力正好在缝补这个缺陷。比如“=”的教学，引发的是“数学是一种关系”，那就要寻找除了相等之外的关系，但之后一系列的关系又是以“=”作为基础的;“认识厘米”的设计，考量的是线段长度是一切度量的出发点，而且认识厘米的思维方式，是今后认识其他度量单位的基石;所以教学中老师让学生估计线段的长短，这不但是训练对长度的感觉，更是培养学生以1厘米为参照，合理推测几厘米究竟有多长，这样就为面积单位、体积单位的学习累积了推理的经验，于是有限可加的线段长度，是为了未来可列可加的测度。

至此，通过对“关键能力”和“小学数学学科核心内容”的剖析，带来了一种新思路，以核心内容统领小学数学学科教学，学生在思考新知识的生长时就会有“左右逢源”的意识，关键能力的培养就有了切实的抓手;而且由于核心内容的教学是引子，学生的学习既是为当下获得关键能力，更是以今天获得的关键能力，让未来的不熟知的学习找到了方向，因为数学学科关键能力已经成了学生解释世界的手段，数学学科关键能力已经悄然地化成了学生的一种思维方式。

当然，回顾、整理问卷，问卷提及的“代数初步”“解决问题”，由于没有突出内容及其认知方式的本质特征，因此较难将其与培养哪一关键能力建立联系。所以找准小学数学知识体系中的核心内容，将是课题组在现有成果探索之上，未来理论研究的一个重要着力点。同时，精心设计小学数学核心内容的教学，提供更多的精彩课堂范例，将是课题组未来实践取向的着力点。

参考文献：

[1][8]  孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成路径[J].教育科学研究，2017（6）：7-13.

[2][3][4][5][6]  涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M]. 南京：江苏教育出版社，2013：367-401.

[7]  庄惠芬. 小学数学学科关键能力的培育策略[J]. 教育理论与实践，2015（35）：59-60.

[9]  中华人民共和国教育部. 中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科教学）[S]. 教师厅，2017.

[10] 朱立明，马云鹏. 聚焦数学核心内容  提升学生核心素养——数学教学关键问题研究的思考[J]. 基础教育课程，2016（13）：38-43.

[11] 陈六一，刘晓萍. “再见”数学，深耕核心素养[J]. 中小学数学（小学版），2017（z2）：82-84.

[12] 杨志宇. 如何把握小学数学教学关键问题中的“核心内容”[J]. 基础教育课程，2017（z1）：82-84，88.