初等数论与代数课程的教学

任伟

【摘要】讨论怎样将初等数论的知识和高等代数、抽象代数课程的教学结合起来，从而帮助学生克服对这两门内容抽象的课程的畏难情绪，激发他们的学习兴趣.

【关键词】初等数论;高等代数;抽象代数

初等数论是以一些初等的算术、组合、代数、几何、分析等方法，研究数论问题的分支，在计算机科学、信息科学、组合分析、密码学、计算数学等领域内得到了广泛应用[1].

高等代数和抽象代数（或近世代数）是本科阶段数学专业非常重要的基础课程.高等代数课程中要学习多项式、行列式、n元向量、矩阵及一般线性空间中的向量和线性变换等.抽象代数课程是一门研究群、环、域等代数结构的课程.这两门课程内容非常形式化.

对于数学专业本科生来说，在大学一年级开设高等代数课，在大学二、三年级开设一学期的抽象代数课，初等数论一般作为高年级学生的专业选修课.这样的课程设置，正如冯克勤先生所说：“新生一上来就是两门分量很重的数学课（微积分和线性代数），而且和中学数学的味道很不一样，不少数学很好的中学生，被这两条闷棍打晕，有的学生直到毕业也没有醒过来”;“初等数论是联系中学数学的一个纽带，使学生能有一个过渡，保持对数学的兴趣和自信心.到了大三，学生学了一大堆高深的数学课以后再来讨论整数，缺乏兴奋感”[2].

因此，在实际教学实践中，应该适时地讲一些初等数论的知识，有利于培养学生学习高等代数和抽象代数课程的兴趣.下面，我们就以实际教学中对相关问题的处理为例，浅谈如何将初等数论与代数课程的教学结合起来.

整除理论是初等数论的重要组成部分之一.设d，a是整数，d不等于0.若存在整数q，使得a=qd，那么，就说d整除a，记作d|a，称d是a的因数（又称约数，除数）.整除及与其相关的概念可推广至整环.在多项式代数的教学中，我们可以将相关的概念做类比.用F[x]表示数域F上全体一元多项式的集合（称为F上的一元多项式环）.对f（x），g（x）∈F[x]，若有q（x）∈F[x]使得f（x）=q（x）g（x），则称g（x）是f（x）的因式，又称g（x）整除f（x）[3].

带余除法是两个整数相除的一种基本算法，对于多项式也有类似的带余除法的概念.辗转相除法是利用带余数除法求两个整数的最大公因数的一种算法.它最早出现于欧几里得的《几何原本》，故又称欧几里得算法.很多学生在中学阶段只学习了用短除法求整数的最大公因数.在学习用辗转相除法求多项式的最大公因数时，往往会觉得其过程很烦琐.我们的做法是先通过具体的整数，让学生熟悉辗转相除法的具体过程：设u0大于u1是两个正整数.用u1去除u0，若u1不能整除u0，则利用带余数除法可得u0=q1u1+u2，0

高斯在《算术研究》中引入的同余符号，是整除概念和表示形式的发展.给定一个正整数m，如果两整数a和b的差a-b被m整除，就说a同余于b模m，b是a对模m的剩余，记作a≡b（modm），该式称为模m的同余式.模m的同余是整数集合上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性.因此，全体整数可按关于模m是否同余分类.

在抽象代数课程中，我们在引入群的概念时可以从初等数论中列举一些例子.例如，整数集Z关于数的加法是一个阿贝尔群，这使得学生意识，从小学学习数的加法起，我们就在不自觉地运用群这一抽象的代数结构;模m的同余类关于加法也是一个阿贝尔群;但是这两个集合关于乘法都不能构成群.

称交换环R的一个理想P（P≠R）为素理想，若对R中的元素a，b从ab∈P可以推出a∈P或b∈P[4，5].整数环Z中由素数生成的理想是素理想（也是極大理想）这一例子，可以帮助学生更好地理解这一概念.若m是素数时，由互素的等价刻画可知任何一个非零数在模m的剩余类中关于乘法有逆元，从而Z/（m）是一个域.当学生心目中有一些具体的例子，就能更好地理解群、环、域的抽象定义、概念和推理.

如何对高等代数和抽象代数课程进行教学，才能使学生更好地掌握知识体系和基本方法，促进其逻辑思维和抽象思维能力的发展，是每一位教师应该思考的问题.从我们的教学实践中发现，一些简单、有趣问题和例子对他们的学习是大有裨益的.

【参考文献】

[1]潘承洞，潘承彪.初等数论：第2版[M].北京：北京大学出版社，2003.

[2]冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[J].高等数学研究，2006（4）：4-7.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[5]姚慕生.抽象代数学：第2版[M].上海：复旦大学出版社，1998.