关于M-D及相关不等式
2019-09-25姚秀凤
姚秀凤
【摘要】本文利用控制不等式理论给出了Mitrinovic'-Djokovic'不等式的一个控制证明和相关不等式，建立了若干新的不等式.
【关键词】M-D不等式;Schur凸性;受控
本文中，Rn和Rn++分别表示n维实数集和n维正实数集，并记R1=R，R1++=R++.
An（x）=∑ni=1xin为n元算术平均.
1948年，G.H.Hardy证明了一个二元不等式[1]：
对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式
x1+1x12+x2+1x22≥252（1）
成立.
1970年，塞尔维亚数学家D.S.Mitrinovic'等利用分析的方法将式（1）推广为[2]：
定理1 如果xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，对任意α>0有
∑nk=1xk+1xkα≥（n2+1）αnα-1（2）
成立.
式（2）称为M-D不等式[6]，文献[6]对其研究进展有着详细的介绍与分析.
本文另辟蹊径，利用控制不等式理论给出式（2）一个控制证明，并且对xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1时，给出关于∑nk=1xk+1xkα的相关式∑nk=11xk-xkα一个相关不等式，得到了一些有趣的结果.
为了证明研究结果需要下面的定义与引理.
定义1[3，5] 设x=（x1，…，xn），y=（y1，…，yn）∈Rn.
ⅰ.若∑ki=1x[i]≤∑ki=1y[i]，k=1，2，…，n-1，且∑ni=1xi=∑ni=1yi，则称x被y所控制，记作x ⅱ.设ΩRn，φ：Ω→Rn，若在Ω上x 定义2[3，5] 设ΩRn. ⅰ.若x∈ΩPx∈Ω，n×n置换矩阵P，则称Ω为对称集. ⅱ.设Ω为对称集，φ：Ω→R.若对任何x∈Ω和任意n×n置换矩阵P，都有φ（Px）=φ（x），则称φ为Ω上的对称函数. 引理1[4] 设ΩRn是有内点的对称凸集，φ：Ω→R在Ω上连续，在Ω的内部Ω0可微，则φ在Ω上Schur凸（凹）φ在Ω上对称且x∈Ω0，有 （x1-x2）φx1-φx2≥0（≤0）.（3） 引理2[4] 设x=（x1，x2，…xn）∈Rn，有下列控制不等式成立： （x1，…，xn）>（An（x），…，An（x）），（4） 其中An（x）=∑ni=1xin. 定理2 对f（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，当0 f（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn Schur凸. 证明 分两种情况证明： ⅰ.当0 令f（x1，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，显然，f（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn对称. fx1=-α1x1-x1α-11x21+1， fx2=-α1x2-x2α-11x22+1， 不妨设0 fx1-fx2=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-1·1x21+1. 令g（x）=1x-xα-11x2+1，于是 g′（x）=-（α-1）1x-xα-21x2+12+1x-xα-1·-2x3 =1x-xα-2（1-α）1x2+12+1x-x-2x3 =1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2（2-α） ≤1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2≤0 g（x）单调减.因此，有fx1-fx2≥0Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0. ⅱ.当0 令g1（x）=1x-xα-1，则 g1′（x）=1x-xα-1′ =（α-1）1x-xα-2（-x-2-1）≥0， 所以当0<α<1时g1（x）在（0，1]上是非负单调增函数. 而fx1-fx2 =α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-11x21+1 =αgα-11（x2）1x22+1-gα-11（x1）1x21+1≥0 Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0. 綜合ⅰ、ⅱ，由引理1知f（x1，…，xn）关于x1，x2，…，xn Schur凸. 定理3 对α>0，xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，有不等式 ∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1（5） 成立. 证明 由引理2控制不等式：（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定义1有 f（x1，…，xn）≥f（A1（x），…，An（x））， 即∑nk=11xk-xkα≥n1An（x）-An（x）α. 于是，当∑nk=1xk=1时，有 ∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1 成立. 推论1 对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式： 1x1-x12+1x2-x22≥92（6） 成立. 证明 定理2中令α=2，n=2，即有1x1-x12+1x2-x22≥92. 推论2 对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式： 1x1-x1+1x2-x2≥6（7） 成立. 证明 定理2中令α=12，n=2时就有 1x1-x1+1x2-x2≥312=6. 推论3 当0<β<π2，有 cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6（8） 成立. 证明 推论2中令x1=sinβ，x2=cosβ，于是 1x1-x1+1x2-x2=1sin2β-sin2β+1cos2β-cos2β =cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6. 最后我们给出定理1的控制证明，可以看出下面的证明比较D.S.Mitrinovic'的证明要简明. 证明 令h（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk+xkα，显然，h（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn对称. hx1=α1x1+x1α-1-1x21+1， hx2=α1x2+x2α-1-1x22+1， 不妨设0 hx1-hx2 =α1x1+x1α-11-1x21-1x2+x2α-11-1x22 =α1x2+x2α-11x22-1-1x1+x1α-11x21-1.（9） 类似定理2的证明，我们分两种情况. ⅰ.当0 令g1（x）=1x+xα-1，则 g1′（x）=1x+xα-1′ =（α-1）1x+xα-2（-x-2+1）≤0， 所以，g1（x）在（0，1]上是非负单调减函数. ⅱ.当0 令g（x）=1x+xα-11-1x2，则 g′（x）=（α-1）1x+xα-21-1x22+1x+xα-12x3 =1x+xα-2（α-1）1-1x22+1x+x2x3 ≥0. 因此，g（x）在（0，1]上是单调增函数. 综合ⅰ、ⅱ，结合式（9）有：当0 再由控制不等式（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定义1有 h（x1，…，xn）≥h（A1（x），…，An（x））， 即∑nk=11xk+xkα≥n1An（x）+An（x）α. 于是，当∑nk=1xk=1时，有 ∑nk=11xk+xkα≥（n2+1）αnα-1 成立. 【参考文献】 [1]G H Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].Cambridge：Cambridge University Press，1948：34. [2]D S Mitrinovic'.Analytic Inequalities[M].New York：Springer，1970：282. [3]王伯英.控制不等式基礎[M].北京：北京师范大学出版社，1990. [4]石焕南.受控理论与解析不等式[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012. [5]A M Marshall，I Olkin.Inequalities：theory of majorization and its application[M].New York：Academies Press，1979. [6]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科学技术出版社，2010.
