Cauchy中值问题解的稳定性

李厚梅　向淑文

【摘要】本文主要研究Cauchy中值问题解的稳定性，其研究具有重要的理论意义，借助有限理性模型研究非线性问题解的稳定性方法，首先给出Cauchy中值问题的具体有限理性模型，其次通过验证其假设条件和利用已有的结论，最后得到绝大多数的Cauchy中值问题的解是结构稳定和鲁棒的.

【关键词】Cauchy中值问题;有限理性;稳定性;鲁棒性

【基金项目】贵州省科学技术基金（黔科合J字[2014]2058号）.

一、引 言

Cauchy中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一，它是研究函数性质的有力工具，也是洛必达法则的理论基础.它有着广泛的应用，例如，解决了微积分学中与中值定理有关的证明问题，通过研究已有柯西中值定理的高阶微分形式，结合差分的相关知识，解决一类复杂不等式的证明，利用中值定理求极限，类似地，推广的Cauchy中值定理可以应用函数构建法来解决一些方程根的存在性及一些不等式问题等.

Cauchy中值问题表述如下：

（P）求x*∈（a，b），使得f′（x*）g′（x*）=f（b）-f（a）g（b）-g（a），

其中函数f（x）和g（x）均在闭区间[a，b]上连续且在（a，b）上可导，对任意x∈（a，b），g′（x）≠0.称x*为Cauchy中值问题（P）的解.

大量文献对Cauchy中值定理进行了多层面的研究，得到了一些有用的结果[1-2].陈新一[1]研究并得到了关于Cauchy中值定理的逆问题;杜争光[2]推广了Cauchy中值定理且得到了该定理的一个广义积分形式，还对该定理的中间点x*的渐近性进行了讨论;何基好[3]对微分学中的拉格朗日中值问题解开展了关于稳定性方面的研究.

2001年，Anderlini和Canning[4]建立了抽象模型M，这是一类带有抽象理性函数的参数化的“一般博弈”模型，随后，俞建等人[5]重新研究了此模型，不但扩大了模型的应用范围，而且还得到了一些新的较为深刻的结果[6-9].具体地，文献[5]将假设条件进一步弱化：Λ是紧度量空间将其减弱为完备度量空间，理性函数R由原来的在（λ，x）上连续减弱为下半连续，集值映射f由连续减弱为上半连续.同时，文献[5]给出了模型M在λ∈Λ对ε-平衡鲁棒和M在 λ∈Λ是结构稳定的新定义并且证明了对绝大多数的λ∈Λ（Baire分类的意义上），M是结构稳定的，对ε-平衡也都是鲁棒的.

受上述研究的启发，本文主要在有限理性框架下研究柯西中值问题解的稳定性.结构如下：第二部分是本文需要的一些预备知识，且给出有限理性下的稳定性结论;第三部分先定义了度量，后构造了理性函数，结合有限理性的框架知识给出柯西中值问题解的稳定性结果;第四部分是本文的结论.

二、预备知识

在本文中，设（X，d）为度量空间，记K（X）为X的所有非空紧子集的全体，其上的拓扑由X上的d诱导的Hausdorff度量生成.首先，回顾AC-有限理性模型M.具体地，M={Λ，X，F，R}，其中Λ为参数空间或问题空间，每个λ∈Λ表示一个博弈问题;X是策略或行为空间，每个x∈X表示一个策略;F：Λ×X→2X是可行集值映射，F诱导出一行为映射f：Λ→2X，其中λ∈Λ，f（λ）={x∈X：x∈F（λ，x）}，该行为映射f的图像为Graph（f）={（λ，x）∈Λ×X：x∈f（λ）}，R：Graph（f）→R+为理性函数，特别地，R（λ，x）=0对应于完全理性.λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，x）≤ε}定义为问题λ的ε-平衡点集，E（λ）=E（λ，0）={x∈f（λ）：R（λ，x）=0}则为λ的平衡点集.

文献[10]主要假定（Λ，ρ）是完备度量空间，（X，d）是紧度量空间，f：Λ→K（X）是上半连续的，且λ∈Λ，f（λ）∈K（X）R;Graph（f）→R+是下半连续的，而λ∈Λ，E（λ）≠.这样，λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，X）≤ε}必是X中的闭集，从而是紧集.

下面是关于AC-有限理性模型M对ε-平衡的鲁棒性和结构稳定性的定义.

定义1[4] 如果δ>0，存在ε>0，使λ∈Λ，当ε<ε时，有

h（E（λ，ε），E（λ））<δ，

称M对ε-平衡点集是鲁棒的，其中h是X上的Hausdorff距离.

定义2[4] 如果平衡映射E：Λ→K（X）是连续的，称M是结构稳定的.

现将文献[11]中的主要结果用定理A的形式给出.

定理A 设（Λ，ρ）是完备度量空间，（X，d）是紧度量空间，f在Λ上是usco的，即

f：Λ→K（X）是上半连续的，λ∈Λ，f（λ）是非空紧集，

R：Graph（f）→R+是下半连续的且λ∈Λ，E（λ）≠，则

（1）平衡映射E在Λ是usco的;

（2）存在Λ中的一个稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M在λ是结构稳定的;

（3）如果M在λ∈Λ是结构稳定的，则M在λ∈Λ对ε-平衡必是鲁棒的，从而λ∈Q，M在λ对ε-平衡必是鲁棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ，而E（λ）是单点集，则M在λ∈Λ是结构稳定的，在λ∈Λ对ε-平衡必是鲁棒的.

三、主要结果

构造Cauchy中值问题空间如下：

设X=[a，b]R=（-∞，+∞）是非空有界闭区间，Λ1={λ=（h，g，[c，d]）}h′g′：X→R在X上连续，h（x），g（x）是X上的连续函数，x∈（a，b），g′（x）≠0，maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈X|g（x）|<+∞，[c，d]是X中的非空有界闭子区间，存在x∈（c，d），使得h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.λ1=（h1，g1，[c1，d1]），λ2=（h2，g2，[c2，d2]）∈Λ1，定義

ρ1（λ1，λ2）=maxx∈X‖h1（x）-h2（x）‖+maxx∈X‖g1（x）-g2（x）‖+maxx∈Xh1′（x）g1′（x）-h2′（x）g2′（x）+h（[c1，d1]，[c2，d2]），其中h是X上的Hausdorff距離，很显然，ρ1是Λ1上的一个度量，则容易证明（Λ1，ρ1）是度量空间.

引理3.1 （Λ1，ρ1）是完备度量空间.

证 设{λn=（gn，hn，[cn，dn]）}是Λ1中的任意一个Cauchy序列，即ε>0，存在正整数N（ε），使n，m≥N（ε）时，有

ρ1（λn，λm）=maxx∈X‖hn（x）-hm（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-gm（x）‖+maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-hm′（x）gm′（x）+h（[cn，dn]，[cm，dm]）<ε，易知，x∈X，存在h′g′：X→R，且h′g′连续，使得 limm→∞hm′（x）gm′（x）=h′（x）g′（x），存在h（x），使 limm→∞hm（x）=h（x），存在g（x），使 limm→∞gm（x）=g（x），函数h（x），g（x）连续，x∈X， maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈x|g（x）|<+∞，存在[c，d]X，使[cm，dm]→[c，d]（m→∞），[c，d]是X中非空有界子区间，且n≥N（ε），有

maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-g（x）‖+

maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-h′（x）g′（x）+h（[cn，dn]，[c，d）]）≤ε.

因为λn=（hn，gn，[cn，dn]）∈Λ1，存在xn∈[cn，dn]，使[c，d]X，有

hn′（xn）gn′（xn）=hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

因为[c，d]X是非空有界闭子区间，由文献[12]知，[c，d]是紧集，不妨假设xn→x∈[c，d]，

因为hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤

hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

而h′g′：X→R是连续的，得hn′（xn）gn′（xn）→h′（x）g′（x）.

易证hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→h（d）-h（c）g（d）-g（c）（n→∞），

从而h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

因此，λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1，（Λ1，ρ1）必是完备的.

λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，它就给定了一个Cauchy中值问题，所有Cauchy中值问题的解的集合为E（λ），由Λ1的定义，E（λ）≠.

现在考虑模型M1={Λ1，X，F，R}，λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，x∈X，定义：

f（λ）=F（λ，x）=[c，d]，

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c），

E（λ）=x∈[c，d]：h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

引理3.2 （1）f：Λ1→2X是连续的，且对任意的λ∈Λ1，f（λ）是紧的;

（2）λ∈Λ1，x∈f（λ），R（λ，x）≥0;

（3）λ∈Λ1，E（λ）≠，x∈E（λ）当且仅当R（λ，x）=0.

证 （1）显然成立.

（2）x∈f（λ），

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）≥0.

（3）事实上，若R（λ，x）=0，

也即h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

从而有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

即h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），所以x∈E（λ）.

反过来，若x∈E（λ），则有h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），就有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，即R（λ，x）=0.

引理3.3 R（λ，x）在（λ，x）是连续的.

证 {xn}[cn，dn]，{λn=（hn，gn，[cn，dn]）}Λ1，n=1，2，…，设λn=（hn，gn，[cn.dn]）→λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1和xn→x∈[c，d]（n→∞），cn≠dn，c≠d，则需要证当n→∞时，有

R（λn，xn）→R（λ，x）.

|R（λn，xn）-R（λ，x）|

=hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-

h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-h′（x）g′（x）+h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）+

h（d）-h（c）g（d）-g（c）-

hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

其中hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）≤ρ（λn，λ）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

由于ρ（λn，λ）→0，xn→x且h′g′在X上连续，n→∞，

所以有h′（xn）g′（xn）→h′（x）g′（x），

从而hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）→0.（1）

由h（[cn，dn]，[c，d]）→0，得cn→c，dn→d（n→∞）.令dn=d+en，cn=c+kn，则en→0，kn→0（n→∞），因此，

[h（d）-h（c）]-[hn（dn）-hn（cn）]

=[h（d）-h（c）]-[hn（d+en）-hn（c+kn）]

=hn（c+kn）-hn（c）-[hn（d+en）-hn（d）]+

hn（c）-hn（d）+h（d）-h（c）

=hn（c+kn）-hn（c）c+kn-c·kn-hn（d+en）-hn（d）d+en-d·en-

[hn（d）-hn（c）]+h（d）-h（c）

=hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+hn（c）-h（c）+h（d）-hn（d）.

从而

‖h（d）-h（c）-[hn（dn）-hn（cn）]‖

=‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+[hn（c）-h（c）]+

[h（d）-hn（d）]‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+maxx∈X‖hn（x）-

h（x）‖+maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+2ρ（λn，λ）

→0（n→∞），

故 limn→∞[hn（dn）-hn（cn）]=h（d）-h（c）.

同理 limn→∞[gn（dn）-gn（cn）]=g（d）-g（c），

由前可知g（d）≠g（c），

从而1gn（dn）-gn（cn）→1g（d）-g（c）（n→∞）.

所以h（d）-h（c）g（d）-g（c）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→0（n→∞）.（2）

结合（1）（2），有 limn→∞R（λn，xn）=R（λ，x），因此，R（λ，x）在（λ，x）是连续的.

由上述引理3.1—3.3可知，定理A的假设条件全部满足要求，从而有以下定理.

定理3.1关于Cauchy中值问题（P）解的稳定性，有定理A成立.

（1）平衡映射E在Λ1是usco的;

（2）存在Λ1中的一个稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M1在λ是结构稳定的;

（3）如果M1在λ∈Λ1是结构稳定的，则M1在λ∈Λ对ε-平衡必是鲁棒的，从而λ∈Q，M1在λ对ε-平衡必是鲁棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ1，而E（λ）是单点集，则M1在λ∈Λ1是结构稳定的，在λ∈Λ1对ε-平衡必是鲁棒的.

证 由引理3.1-3.3，（Λ1，ρ1）是完备度量空间，X是紧度量空间，集值映射f在Λ1是上半连续的且f（λ）非空，R连续且λ∈Λ1，E（λ）≠.则定理A成立.

四、结 论

本文在基于有限理性框架下讨论了Cauchy中值问题模型.在Baire分类的意义下，对绝大多数的参数值λ∈Λ1，M1在λ是结构稳定的，对ε-平衡也是鲁棒的.即在有限理性下绝大多数的柯西中值问题的解都是稳定的.

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