对“错位相减法”的重新认识

王美华

关于数列的求和，从最简单的定义法，分组法到复杂的错位相减法，裂项相消法，都是日常教学中的基本方法.

近十年的教学一直是按照这样的步骤和方法进行.但在今年的这一届学生中有学生对错位相减法提出新的建议.那是一张很平常的练习题，里面有一个填空题，是关于一个通项是等差数列乘以等比数列的求和即.按照平常思维就按照错位相减法去解决.但因为当天讲了关于裂项相消法的专题，“分式结构”引起了他的思考.于是，他尝试也去将分成两项，他成功了.

但因为怕这是一个偶然，于是把常见的错位相减的题目用两种方法一起做进行比较.发现这是一个通法，即所有的错位相减法都可以转化为裂项相消法.下面举两个具体的例子说明用“裂项相消法”去取代“错位相减法”的妙用.

（1）使用错位相减法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂项相消法：sn＝a1+a2+…+an

右式通分后与左式对比得到：n＝kn+b-2k

2.对于公比q∈（1，+∞），整式结构.如an＝n·3n，求sn＝a1+a2+…+an

（1）使用错位相减法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂项相消法：sn＝a1+a2+…+an

从通项an＝n·3n出发

这个裂项的结果也是由待定系数而得到，即令n·3n＝［k（n+1）+b］·3n+1-（kn+b）·3n，

右式通分后与左式对比得到：n＝2kn+2b+3k

归纳上面的两个实例，可将所有的“错位相减法”转化为“裂项相消法”，即

（将右式通分，由待定系数法，解出m，r的值.）

题型二：an＝（kn+b）·cn＝［m（n+1）+r］·cn+1-（mn+r）·cn

（将右式合并，由待定系数法，解出m，r的值.）

对于方法的转化，有的题目会比原方法简单，有的题目会比原方法复杂.不管结果怎样，这种思考的方式得到改变是值得肯定的.这件事让我明白，学习永远在路上，教学方法也是永远在路上.

年复一年的教学，让很多教师包括我自己人对很多的教学内容理所当然，对基本方法也是惯性思维.这次的发现让我彻底反思，不管做到怎样好，我们的教学工作一定有许多地方可以突破和创新.关键的问题是我们能否愿意去改变，去冲破思维定势.不断去尝试，才能让我们的工作充满激情.