关于求解数列的通项公式九种常见类型与方法

何正文

(广东省肇庆市百花中学 526000)

求数列通项题型具有很强的规律性，本文对数列通项公式问题进行九种分类与归纳，希望对广大师生有借鉴之用.

一、形如

这种题型适合用迭加法进行求解.

例1已知数列{an}满足an+1-an=2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式.

解由an+1-an=2n+1得

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1

所以数列{an}的通项公式为an=n2.

二、形如

这种题型适合用迭乘法进行求解.

∵a1=3,

三、形如 (其中p,q均为常数)

这种题型可以设an+1+λ=p(an+λ)，解出λ，再化为等比数列求解.

例3已知在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+3，求an.

解设an+1+λ=2(an+λ)，则an+1=2an+λ.

∵an+1=2an+3，∴λ=3，∴an+1+3=2(an+3).

∵a1=1,∴a1+3=4,

∴{an+3}是以4为首项，公比为2的等比数列.

∴an+3=4×2n-1，∴an=2n+1-3.

这种题型可以设an+1+λ·qn+1=p(an+λ·qn)，解出λ，再化为等比数列求解.

例4已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n,a1=6，求数列{an}的通项公式.

解∵an+1=2an+3×5n,设an+1+λ·5n+1=2(an+λ×5n)，则an+1=2an-3λ×5n.

∵an+1=2an+3×5n,∴λ=-1.

∴an+1-5n+1=2(an-5n).∵a1=6,a1-5=1,

∴数列{an-5n}是首项为1，公比为2的等比数列.

∴an-5n=1×2n-1，即an=2n-1+5n.

五、形如

这种题型可以先由n=1求出a1，再由递推式求n≥2时的通项公式，最后一定要检验n=1该通项公式是否满足.如满足，则所求通项公式为整个函数的通项公式，如不满足，则最后结果要以分段函数的形式表示.

例5已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,an+1=2Sn(n∈N*)，求{an}的通项公式.

∴an=2×3n-2(n≥2).

六、形如为常数

七﹑形如an+1=pan+qn+r(pq≠0)，p,q,r为常数

这种题型可以设an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),对比前后两式，求出A，B，再化为等比数列求解.

例7设数列{an}：a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2)，求an.

解设an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B]，则an+An+B=3an-1+3An-3A+3B，∴an=3an-1+2An+2B-3A.

∵an=3an-1+2n-1，∴A=1,B=1,

∴an+n+1=3[an-1+(n-1)+1].

又∵a1=4,∴a1+1+1=6，

∴数列{an+n+1}是首项为6，公比为3的等比数列.

∴an+n+1=6×3n-1，∴an=2×3n-n-1

八、形如

这种类型可以分类看看，若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为lgan=rlgan-1，得到首项为lga1，公比为r的等比数列{lgan}，进一步求解即可；若p≠1，则等式两边取以p为底的对数得：logpan=rlogpan-1+1，可利用类型三求解.

∴{lgan}是首项为lg3，公比为2的等比数列.

∴lgan=2n-1lg3,

∴an=32n-1.

九、形如an+2=pan+1+qan，p，q为常数

这种题型可以把an+2=pan+1+qan化成an+2+λan+1=p(an+1+λan)，求{an+1+λan}通项，再用类型三，类型四方法求解.

∵a1=1,a2=2,∴a2-a1=1.

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

以上为常见求数列通项公式的九种方法，其实数列通项公式的条件往往就有很强的指向性，只要把握好其中规律，结合方法总结，就可以对症下药，理清思路，这类型的问题就自然迎刃而解.