圆锥曲线切线问题中的一类角度关系

杨军君

[摘  要] 文章从一道高三质量检测题出发，对试题进行推广、类比，借用圆锥曲线的光学性质，探究圆锥曲线切线问题中的一类角度之间的关系.

[关键词] 圆锥曲线;切线;光学性质

圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点、难点，是高考命题的热点之一. 很多圆锥曲线试题源于圆锥曲线的某些几何性质，具有一定的几何背景，内涵丰富，其结论可以推广、类比拓展，为研究性学习提供较好的素材，能激活探究思维，激发探究热情. 本文将从一道高三质量检测题出发，对试题进行推广、类比拓展，探求圆锥曲线切线问题中的一类角度关系，供大家参考.

试题（2019届质量检测16题）如图1，F1，F2为椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点，直线l过F1且交椭圆C于A，B，过A，B分别作椭圆C的切线并相交于点P. 若∠APB=65°，则∠AF2B=________.

本题以椭圆的切线为背景，考查与焦点三角形相关的角度关系，可以从解析、几何不同的方向解决问题.试题结构新颖，考查内容丰富，解答入手点多，能有效考查学生的数学抽象、逻辑推理以及直观想象等核心素养.

[?]背景探究

高考数学试题多数源于教材，而又高于教材，这道试题取材源自人教版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》章末的一份阅读与思考材料，是椭圆的光学性质的简单应用.

椭圆的光学性质为：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，也即是以下命题：

命题：如图2，F1，F2为椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆C上. 过P作椭圆C的切线l，则l为△PF1F2的外角平分线.

分析：命题的证明可采用解析法和几何法进行，详见参考文献[1][2]. 考虑到学生熟悉椭圆的焦半径公式以及三角形内角平分线定理，故而可将问题转化为证明过点P且与l垂直的直线为△PF1F2的内角平分线.

证明：过P作切线l的垂线交x轴于点Q，只需证明PQ平分∠F1PF2.

所以有=，即PQ为∠F1PF2的角平分线，进而可得l为△PF1F2的外角平分线.

[?]类比推广

已知F1，F2为椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线，分别切于A，B，连结AF1，AF2，BF1，BF2. 记∠APB=θ，四边形APBF1及四边形APBF2中∠APB的对角分别为θ1，θ2，那么θ，θ1，θ2三者具有怎样的关系？

由于点P的位置不同导致两切点A，B分布的情况也不同，故而分两种情况讨论：

（1）A，B位于x轴两侧

（2）A，B位于x轴同侧

如图4，当点P在x轴上方时：∠AF1B=θ1，∠AF2B=θ2.

（1）当切点A，B位于双曲线的同支时，如图5，记∠APB=θ，四边形APBF1及四边形APBF2中∠APB的对角分别为θ1，θ2，则2θ+θ1-θ2=2π;

（2）当切点A，B位于双曲线的异支时，如图6，记∠APB=θ，∠AF1B=θ1，∠AF2B=θ2，则2θ=θ1+θ2.

结论3：已知F为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线，分别切于A，B. 记∠APB=θ，四边形APBF中∠APB的对角为θ′，则2θ+θ′=2π.

上述结论2与结论3的证明过程可以类比椭圆进行，由于篇幅有限，在此省略.

数学教育家傅种孙先生曾言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.” 在这道高三质量检测题的引領下，我们由光学性质出发，回避了复杂的运算，找到相应的结论，使问题变得透彻、简单.我们依此而解题，据此而命题，数学之简洁美、深刻美便跃然纸上，呼之欲出.

参考文献：

[1]  甘志国. 圆锥曲线光学性质的证明及其应用[J].数学教学，2017（9）：16-18.

[2]  李凤华. 由圆锥曲线光学性质得出的一组优美性质——定值问题[J]. 中学数学研究，2012（4）：23-25.