浅析数学的美学内涵与其教育价值

周婷婷

[摘  要] 长久以来，人们对数学的认知还停留在实用性上，认为数学仅仅是探索世界的工具，殊不知，数学也是一门艺术，广泛应用在美学创造的同时，本身也具有極高的美学价值. 文章中，笔者将简要分析数学之美的三大特性，即简洁性、和谐性以及奇异性，并结合中学教育，分析数学的美学特性具有的教育价值.

[关键词] 数学;美学价值

作为一门现代科学，数学的实用性一直以来就为人们所熟知，数学的诞生和发展很大程度上就是为了满足人们的生产需求，数学的知识方法也确实推动了社会和其他学科的发展进步. 然而实用绝不是数学的全貌，除了抽象的概念体系和严谨的思维方法外，数学还具有极高的美学价值，数学的思想方法中除了理性与逻辑外，不乏感性和想象的成分. 从本质上说，数学是一门将理性与感性完美融和的学科，也因此具有了独特的美感.

普洛克拉斯，古希腊著名数学家也曾盛赞过数学的美学价值，他认为数学的本质就是美，感叹道，哪里有数学，哪里就有美的存在. 的确，只要我们稍加留意，就能发现数学具有的独特之美. 笔者认为，数学之美至少具有简洁性、和谐性和奇异性三种属性.

[?]言简意赅，数学之美的简洁性

现实世界中的事物和现象形式多样，给人一种“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而数学是对现实生活的一种抽象和概括，数学的许多经典定理和公式仅用寥寥数语就能将自然社会的光怪陆离概括到位，具有一种独特的简洁之美[1].

比如应用极为广泛的欧拉公式“V+F-E=2”，仅用一个等式就将简单多面体的三个基本量“顶点数V、面数F和棱数E”联系了起来. 试想，现实生活中我们遇到的多面体种类多样，数量无穷无尽，如果每遇到一个多面体都对它进行研究和记录，将会带来多大的工作量，但是就是这样一个复杂的问题，用短短一个公式就可以解决，并且这样一个简单的公式对后来拓扑学以及图论的发展起到了重大的推动作用，这不禁让人感叹数学简洁之美的精妙. 再比如说，高斯在解决“1+2+3+…+100等于多少”这一问题时，灵敏地察觉到了这看似费时费力的庞大计算中的简单规律性，即1+100=2+99=…=51+50=101，由此，他将这一百个数字求和的复杂问题，转变成了“101×50”这样两数相乘的简单问题，这也是数学简洁之美的具体表现. 除此之外的例子还有很多，红黄蓝三种颜色的不同搭配可以衍生出世界上所有的颜色，向量中坐标的前后位置就可以表示方向，三角函数用简单的符号和等式架起了角度和坐标的转换桥梁，而空间坐标系则可以帮助人们以一种清晰简易的方式理解纷繁复杂的几何世界.

伟大的科学家爱因斯坦认为美的本质归于简单，数学的简洁性非常契合美本身，不过，数学之美的简洁并不意味着数学的研究对象是简单的，相反，大多数时候，数学的研究对象十分复杂，也正是如此，数学的简洁之美才显得更加精妙和震撼人心.

[?]包容有序，数学之美的和谐性

数学作为一门研究规律的学科，其本身也遵循着一定的规律，数学规律能反映出自然现象之间的和谐之处，数学本身也是充满和谐的.

举例说明，欧氏几何中的黄金分割比例一直以来被人们视作美与和谐的化身，从“美神”维纳斯的雕像，到各大地标志性建筑物的设计，甚至是在音乐创作之中，黄金比例一次又一次地给人们带来了美的体验，而人们之所以觉得美，就是因为在这样的比例中蕴含着一种和谐不突兀的关系，这正是数学之美的规律性的体现[2].

除了数学中某些特殊的数字能带来美感之外，我们在数学公式中也能发现数学包容有序的和谐之美. 比如，欧拉恒等式eπi+1=0，这短短一个公式就将数学中几个重要的量囊括其中了，它将自然对数的底e，圆周率π以及虚实数的单位1和i，还有在数学历史上具有极其重要作用的数0都统一到了一个公式里面，令人不禁赞叹数学强大的包容能力，它将这些奇妙的数字结合得如此和谐有趣，也因此被众多数学家们称赞为是上帝创造的公式. 另一个欧拉公式eix=cosx+isinx也蕴藏着这样的和谐之美，这个欧拉公式在指数函数与三角函数之间架起了转换的桥梁，让我们发现它们之间存在的微妙联系，让人们发现看似分离和杂乱的数学体系之间强大的融合性与奇妙的和谐性.

在数学的研究过程中，数学家们还经常发现一些协调的图案，例如，如下所示的就是数学家们在研究二项式系数变化规律时得到的杨辉三角.

1

1  1

1  2  1

1  3  3  1

1  4  6  4  1

1  5  10  10  5  1

……

[?]超越常识，数学之美的奇异性

数学是对世界的抽象，总会有一些超出我们日常认知的知识，需要我们静下心来去研究和感悟才能明白，这赋予数学一种奇异神秘的美感，也正是这样的美感吸引着一代又一代的数学家们，让他们投入了大量的精力，只为发掘出这背后隐藏的奇妙美感[3].

有一则故事是这样展开的，从前有一个国力雄厚的国家，国王十分擅长下象棋，他的臣子和百姓中没有一个能成为他的对手，因此他发出了悬赏令，内容是如果有人能打败他，自己就许诺达成那个人一个不太过分的愿望. 在悬赏下，有一位勇士前来挑战国王，这位勇士棋艺超人，击败了这位常胜的国王，国王很是开心，就问他想要什么奖励，这位勇士说道：“尊敬的国王陛下，我所求不复杂，只想要一些大米.” 国王问道：“那么你想要多少大米呢？”这位勇士指着棋盘说道：“陛下您看这块棋盘一共有64个方块，在第一个方块上放1粒米，第二个方块上放2粒米，以此类推，每一个方块上盛放米粒的数量是前一个方块数量的一倍即可，把这些米加起来，就是我想要的大米的总数了.” 国王一听，笑道：“这还不容易？这位勇士所需真少啊，我国国力雄厚，达成你的愿望十分轻松. ”说罢，国王就命人抬来十袋大米让这位勇士带回去，可这时这位勇士突然说道：“陛下，这十袋大米是完全不够的，您难道是想说话不算话吗？”国王疑惑，便叫来财政大臣校对，财政大臣听闻要求后稍加计算，连忙向国王禀报：“陛下，这位勇士可不是知足，而是贪心至极啊，照他的说法来做的话，别说这十袋米，就是把整个国库中的余粮尽数给他也不够啊. ”国王大惊，为了保全颜面，国王叫来所有大臣共商对策，宰相出来说道：“陛下不必担忧，臣有一计，既然这位勇士要求在每一个方块上都放上一定数量的大米，那就让他自己去国库里数，这样庞大的数量，他就算数一辈子也数不完.” 国王将宰相的计谋和勇士说后，勇士悻悻地拿着十袋米走了. 确实，如果不从数学的角度来思考，按照常识，人们会认为棋盘也就这么大，十袋米绝对能把棋盘填满，但是如果从数学角度来计算，总共需要的大米数实际上是一个等比数列求和问题，总数应是20+21+…+263，这是一个极大的天文数字，和常识相去甚远，数学的奇异之美就在此展现. 除此之外，类似于“以为首项，为公比的等比数列的求和，其结果无限趋近于1”这样的数值计算，还有极限与连续的概念等，都在展现着数学之美的奇异之处.

[?]数学美学特性的教育价值

数学的美一方面可以用来欣赏，另一方面也可以发挥一定的教育功能. 数学在中学教育阶段属于难度较大的学科，许多学生觉得数学抽象又枯燥，产生了恐惧和厌恶心理，其实这是由于他们没有感受到数学之美. 教师在日常教学过程中可以适当地让学生接触到知识概念之外的内容，让他们体会到数学之美，从而消除心理距离，激发起学生探索数学的兴趣和积极性. 举例说明，在讲授多面体性质的时候，教师可以先不要给出欧拉公式，而是让学生自主去探索顶点、面和棱之间的数量关系，让学生自己去体会总结与精炼的过程，最后再给出欧拉公式，让学生体会到数学的简洁之美;再比如，教师在讲到二项式系数相关内容的时候，可以将杨辉三角呈现在学生面前，让学生感受数学协调之美的同时，加深印象;在讲到等比数列求和相关问题时，教师可以向学生讲述上面那则故事，让学生切身体会到一种思维的碰撞感，从而对数学学习产生兴趣.

参考文献：

[1]  李三平. 关于数学思维[J]. 数学教育学报，1996，5（1）：17.

[2]  李莉. 关于数学思维的特点[J]. 数学教育学报，1995，4（1）：31.

[3]  黄光荣. 对数学本质的认识[J]. 数学教育学报，2002，11（2）：22.