基于稀疏贝叶斯学习的低信噪比DOA估计算法

蒋留兵， 荣书伟， 车 俐

(1.桂林电子科技大学 计算机与信息安全学院,广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学 信息与通信学院,广西 桂林 541004)

波达方向(direction of arrival，简称DOA)估计是阵列信号处理中一个非常重要的研究方向，广泛应用于天线、雷达、通信等领域[1]。以MUSIC[2]和ESPRIT[3]为代表的超分辨DOA估计算法实现简单，分辨率高，但要求多快拍数和高信噪比。近年来，压缩感知信号重建理论的提出促进了DOA估计的发展[4]。信号重建算法主要包括贪婪追踪类、凸松弛类[5]和稀疏贝叶斯学习类[6]三大类。贪婪追踪类最经典的是匹配追踪算法[7]，该算法通过不断完善冗余字典对信号进行稀疏重构；文献[8]提出的L1-SVD算法是最经典的凸松弛类算法；信号重建算法中最受欢迎的是稀疏贝叶斯学习方法，该方法从贝叶斯的观点出发，利用信号的稀疏先验信息对信号进行稀疏重构。

以上压缩感知算法应用于处理DOA估计问题，均假定波达方向恰好位于固定的采样网格点上。为了解决离格DOA估计问题，文献[9]提出了一种基于离格模型的DOA估计算法，但所要估计的部分波达方向偏离固定的网格；文献[10]利用线性逼近真实的DOA，并提出一种离格稀疏贝叶斯学习(off-grid direction of arrival estimation using sparse Bayesian inference，简称OGSBI)算法，但该算法在估计精度和计算复杂度方面存在着矛盾；在OGSBI基础上，文献[11]提出了一种求根稀疏贝叶斯(root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation，简称OGRSBL)算法，将网格点作为自适应参数，减少了计算量的同时，也保证了估计精度。但这些算法在信噪比较低的情况下估计精度不高，甚至产生错误的DOA估计值。

鉴于此，提出了一种基于伪噪声重采样技术[12-13]和稀疏贝叶斯学习(pseudo-noise resampling OGRSBL，简称PR-OGRSBL)算法。在OGRSBL算法的基础上，引入了伪噪声重采样技术，通过将这两者相结合来消除DOA估计产生的异常值。对OGRSBL算法产生的DOA估计值进行局部性能测试，若不能通过测试，则采用伪噪声重采样技术来减小原始噪声的影响，再次进行局部性能测试，直到所有DOA估计值都通过局部性能测试，得到最终的估计结果。

1 离格DOA估计模型

假设有K个窄带远场信号源入射到均匀天线阵列上，均匀天线阵列由M个阵元组成，相邻阵元之间的距离为d，K个信源sk(t),k=1,2,…,K的入射方向为θk,则产生的信号模型[1]

x(t)=As(t)+n(t)，t=1,2,…,T。

(1)

s(2),…,s(T)]，则有

X=AS+N。

(2)

(3)

X=Φ(β)S+N。

(4)

图1 信号分析示意图

2 PR-OGRSBL算法

2.1 求根稀疏贝叶斯模型

2.1.1 稀疏贝叶斯公式

(5)

(6)

(7)

(8)

其中ρ>0，通常是很小的正数。

对于βn，由于在离格模型下网格点间隔r不再是一个常数，假定βn满足如下分布：

(9)

2.1.2 贝叶斯推理

后验分布p(S,δ,α0,β|X)不能精确求解[14]。文献[15]提出的标准贝叶斯压缩感知方法可以解决这一问题。S的后验概率分布为

(10)

其中：

μ(t)=α0ΣΦHx(t)，t=1，2，…，T；

(11)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(12)

若要计算μ(t)、Σ，需要知道α0、δ和β，计算过程类似于文献[11]中的方法，此处不再赘述。α0、δ的更新公式为

(13)

(14)

其中，Ξt≜μ(t)(μ(t))H。

(15)

其中zi为多项式求解最接近单位圆的根值。

由以上分析可知，μ(t)、Σ与α0、δ互为函数，需要不断进行迭代，直到达到收敛条件算法停止。采用文献[10]提出的收敛条件，即当(δi+1-δi)/δi<τ或者达到最大迭代次数时终止算法。其中：τ为用户自定义参数；i为迭代次数。

OGRSBL算法步骤：

1)对信号超参数δ和噪声超参数α0进行初始化，将均值μ(t)和方差Σ均初始化为0；

2)利用式(11)、(12)求解均值μ(t)和方差Σ；

3)利用式(13)、(14)更新超参数δ和噪声参数α0；

4)判断是否达到收敛条件((δi+1-δi)/δi<τ或达到最大迭代次数)，若收敛，则终止算法，不收敛，则继续步骤5)；

5)根据式(15)更新Φ(β)，转到步骤2)，更新均值μ(t)和方差Σ。

2.2 基于伪噪声和求根稀疏贝叶斯模型

在信噪比较低的情况下，通过上述求根稀疏贝叶斯模型对信号的来波方向估计会产生异常值，因此采用伪随机噪声重采样技术来消除异常值的影响。重采样方案就是将伪随机噪声产生器生成的伪随机噪声加入测量数据矩阵(4)，即

Y=X+Z。

(16)

其中：Y=[y(1),y(2),…,y(N)]；Z为由高斯随机发生器获得的零均值伪噪声矩阵，满足[12]

(17)

局部性能测试条件Η[13]：由DOA估计器产生的空间谱函数，存在K个谱峰位置位于预估计扇形角度区域Θ中。

生成扇形角度区域Θ的一种方法是由常规波束形成器[16]生成：

Θ=[θ1L,θ1R]∪[θ2L,θ2R]∪…∪[θKL,θKR]。

其中θkL，θkR，k=1，2，…，K分别是每个子区间的左右边界，左右边界分别是距离第k个峰值左右各下降3 dB对应的点。

PR-OGRSBL算法步骤如下：

1)利用测量矩阵X和传统的OGRSBL算法计算初步的DOA估计值。

2)将局部性能测试应用到步骤1)中的DOA估计：

a)若信号的DOA估计值通过局部性能测试，则转至步骤4)；

b)若不能通过局部性能测试，则随机生成满足式(17)的L组伪随机噪声，分别加入到原始测量矩阵X，进而得到L组新的DOA估计值。

3)对步骤2)产生的L组DOA估计值进行局部性能测试。

4)算法停止。

3 仿真分析

选择DOA估计器组数L=40，信噪比SNR分别为-12、-10、-8、-6、-4、-2、0 dB，则不同信噪比下OGRSBL算法、PR Root-MUSIC算法和PR-OGRSBL算法DOA估计的均方根误差随信噪比的变化情况如图2所示。从图2可看出，由于将伪噪声重采样技术和稀疏贝叶斯学习算法相结合，所提算法与经典离格模型下的OGRSBL算法、基于网格模型下经典的PR Root-MUSIC算法相比，具有更低的均方根误差，也即具有更高的估计精度。与OGRSBL算法相比，所提算法加入了伪噪声重采样技术，去除了DOA估计的异常值。

图2 L=40时不同信噪比下算法的RMSE

图3为信噪比SNR分别为-12、-11、-10、-9、-8 dB，在不同DOA估计器组的情况下，所提算法与PR Root-MUSIC算法均方根误差的比较，估计器组数为L=10和L=30时，所提算法均比PR Root-MUSIC算法均方根误差低，表明采用离格模型下的稀疏贝叶斯学习方法具有更高的估计精度。

图3 不同估计器组数下算法的RMSE

图4为不同信噪比、不同DOA估计器组数情况下，所提算法DOA估计的均方根误差RMSE与OGRSBL算法的对比。从图4可看出，DOA估计器组数k无论是大还是小，本算法均比OGRSBL算法的性能要好，且随着DOA估计器组数的增加，算法的DOA估计性能越高。当信噪比大于-2 dB时，所提算法与OGRSBL算法仿真图像重合，这是因为，在较高信噪比时，所有的DOA估计值均可通过局部性能测试，此时所提算法就简化为OGRSBL算法。

图4 不同估计器组数下算法随SNR变化的RMSE

4 结束语

提出了一种基于伪噪声重采样和稀疏贝叶斯学习的DOA估计算法。通过伪噪声重采样技术构造新的数据模型，利用求根稀疏贝叶斯学习求解出DOA估计值，采用局部性能测试方法去除异常值，筛选出合适的DOA值。与现有离格模型下的DOA估计算法[10-11,17]不同，该算法在求根稀疏贝叶斯学习算法的基础上采用伪噪声重采样技术，降低了原始信号中噪声的影响，在低信噪比下仍有较高的DOA估计精度。仿真结果表明，PR-OGRSBL算法要优于传统离格的OGRSBL算法和基于网格的PR Root-MUSIC算法，在低信噪比下具有更高的DOA估计精度。