一道样本的数字特征与频率分布直方图的交汇问题

■徐春生

题目海水养殖场进行某水产品的旧,新网箱养殖方法产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品产量(单位：kg),其旧、新网箱养殖法的频率分布直方图分别如图1、图2所示。

图1

图2

根据频率分布直方图,下列说法正确的是( )。

①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值;②新网箱产量的中位数的估计值高于旧网箱产量的中位数的估计值;③新网箱产量的平均数的估计值高于旧网箱产量的平均数的估计值;④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组的总产量的估计值的两倍。

A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①④

解：旧网箱产量的平均数=27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1,旧网箱产量的方差=(27.5-47.1)2×0.06+(32.5-47.1)2×0.07+(37.5-47.1)2×0.12+(42.5-47.1)2×0.17+(47.5-47.1)2×0.2+(52.5-47.1)2×0.16+(57.5-47.1)2×0.1+(62.5-47.1)2×0.06+(67.5-47.1)2×0.06=107.34。新网箱产量的平均数37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35,新网箱产量的方差=(37.5-52.35)2×0.02+(42.5-52.35)2×0.1+(47.5-52.35)2×0.22+(52.5-52.35)2×0.34+(57.5-52.35)2×0.23+(62.5-52.35)2×0.05+(67.5-52.35)2×0.04=39.7275。因为＜＜,所以新网箱产量的平均数的估计值高于旧网箱产量的平均数的估计值,新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值,①错误,③正确。旧养殖法中,前4组的频率之和为(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42,第5组的频率为0.04×5=0.2,因此旧网箱产量的中位数在第5组[45,50]之间。新养殖法中,前3组的频率之和为(0.004+0.02+0.044)×5=0.34,第4组的频率为0.068×5=0.34,因此新网箱产量的中位数在第4组[50,55]之间。所以新网箱产量的中位数的估计值高于旧网箱产量的中位数的估计值,②正确。旧网箱频率最高组的总产量的估计值为47.5×100×0.2=950,新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5×100×0.34=1785,所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组的总产量的估计值的两倍,④正确。应选B。

评析：在频率分布直方图中,最高的矩形底边中点的横坐标为众数;中位数左边和右边的矩形的面积之和是相等的;平均数是频率分布直方图的“重心”,它等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以矩形底边中点的横坐标之和。