基于ASECKF算法的锂电池荷电状态估计方法

颜学龙， 谭霁宬

(桂林电子科技大学 电子工程与自动化学院,广西 桂林 541004)

锂电池具有能量密度大，循环寿命长，耐高温，重量轻，绿色环保等诸多优点，因此在电动汽车中广泛使用[1]。锂电池荷电状态(state of charge，简称SOC)的估计是电动汽车电池管理系统的主要任务之一。精确的锂电池SOC估计可以避免不可预测的系统中断，并防止电池过度充放电对电池的内部结构造成永久性损坏，从而延长使用寿命[2]。由于锂电池工作时具有非线性和时变特性，准确估算锂电池SOC仍然是一个挑战[3]。

目前有许多锂电池SOC估计方法，简单易用的有安时积分法[4]，但该方法容易出现累积误差，需要准确的SOC初值与精确的电流测量值。开路电压法[5]在充放电早期和后期SOC估算是最有效的，前提是电池需要长时间静置，使其端电压接近开路电压(open circuit voltage，简称OCV)，一般联合使用安时积分法与开路电压法来增强SOC估计。神经网络模型[6]、支持向量机[7]等机器学习方法也已用于在线估计锂电池SOC，但模型训练非常耗时，且需要大量可靠数据，锂电池工作时遇到未知的负载条件可能导致较大的估计误差。在模型误差和外部干扰方面，滑模观测器(sliding mode observer，简称SMO)算法[8]是一种可靠且稳健的SOC估计方法，可用于模型误差和外部的干扰。由于很难获得SMO的最佳参数，使得SOC估计较困难。粒子滤波(particle filter，简称PF)[9]算法可以在非线性和非高斯状态估计中有效地执行，但需要大量粒子和大规模矩阵运算，这限制了其在SOC估计中的实际应用。还有一类基于电池模型的卡尔曼滤波系列算法，在锂电池SOC估计方法中得到了广泛研究，其在估计精度和鲁棒性方面已取得了令人满意的结果。较典型的有扩展卡尔曼滤波(extened Kalman filter，简称EKF)算法[10]与无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter，简称UKF)算法[11]。然而EKF算法无法避免线性化误差和雅可比矩阵计算的问题，这可能导致高度非线性的电池状态系统滤波估计无效和精度降低。UKF算法在估算SOC方面具有比EKF算法更高的精度，但需要进行无迹变换计算和转换sigma点，计算复杂度高且无法保证状态协方差的半正定性，从而影响滤波估计。

为解决以上问题，文献[12]提出了一种基于平方根容积卡尔曼滤波(square root cubature Kalman filter，简称SRCKF)算法的锂电池SOC估计方法。相比EKF、UKF算法，容积卡尔曼滤波(cubature Kalman filter，简称CKF)算法[13]实现简单，无需线性化近似，也不必进行参数选择，可以在高维状态保持估计精度的同时缩短计算时间。SRCKF算法在CKF算法基础上，以Cholesky分解因子形式直接传播和更新状态协方差矩阵的平方根，获得了更高的计算效率，并保证了协方差矩阵的非负定性，提高了滤波器的收敛速度和稳定性。但SRCKF算法缺乏鲁棒性，无法适应未知或时变的噪声统计特性条件。为了解决先验噪声统计特性未知或不准确导致的SRCKF的精度下降或发散的问题，提出了基于自适应平方根嵌入式容积卡尔曼滤波(adaptive square-root embedded cubature Kalman filter，简称ASECKF)算法的锂电池SOC估计方法，克服了SRCKF算法的缺陷，增强了算法的自适应性和鲁棒性，从而提高了锂电池SOC估计精度。

1 ASECKF算法

设含有控制量的离散非线性系统的状态方程和观测方程为

(1)

其中：xk、zk分别为k时刻的系统状态量和观测量；F(·)、H(·)为非线性函数；uk为k时刻的控制输入量；vk为过程噪声；wk为观测噪声。vk、wk分别具有以下统计特性：

(2)

其中：E(·)表示求期望；cov(·)表示求协方差。

1.1 三阶SECKF算法

为了提高传统CKF算法的滤波精度与算法数值运算的稳定性，文献[14]采用三阶嵌入式容积准则代替了三阶球面-径向容积准则，并引入平方根滤波思想保证协方差矩阵的对称性和正定性，得到了平方根嵌入式容积卡尔曼滤波(Square-root embedded cubature Kalman filter，简称SECKF)算法。具体算法步骤如下。

1)根据三阶嵌入式容积准则计算基本容积点和相应的权值：

(3)

(4)

其中：n为状态维数；[0]为n维零向量；[δ]为容积点集；[δ]i为点集中的第i个点。令式(2)中σ=1，将n维向量[σ2,-σ2,…,-σ2]T中的元素进行全排列并取反可得：

(5)

2)初始化获得初始状态估计、初始状态估计协方差及其Cholesky分解因子：

(6)

其中chol(·)表示矩阵Cholesky分解。

3)时间更新：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中Tria(·)表示QR三角分解，返回下三角矩阵。

4)测量更新：

(12)

Zi,k-1|k-1=H(Xi,k|k-1,uk-1)+rk，

(13)

(14)

(15)

Szz,k|k-1=Tria([Zk|k-1,chol(Rk)])，

(16)

(17)

Pxz,k|k-1=χk|k-1γk|k-1，

(18)

(19)

(20)

(21)

Sk|k=Tria([χk|k-1-Kkγk|k-1,Kkchol(Rk)])。

(22)

1.2 基于改进Sage-Husa算法实现的ASECKF

SECKF算法同SRCKF算法一样，也需要预先设定准确的过程噪声协方差矩阵Q与测量噪声协方差矩阵R，两者取值大于或小于实际值都会导致滤波精度降低或发散。实际工程应用中，随机干扰是不可避免的，过程噪声和测量噪声统计特性很难准确获得。

早期Sage-Husa噪声估计器针对未知噪声的线性系统具有良好的效果，为了扩展其应用范围，根据文献[16]在SRCKF算法框架下推导出的适用于非线性系统的时变噪声统计估计器，结合三阶SECKF算法推导过程，获得了能应用于ASECKF算法的平方根形式的时变噪声统计估计器：

(23)

其中，Pk由式(24)计算得到，dk通过式(25)获得。

Pk=[χk|k-1-KkZk|k-1,KkSR,k]×

[χk|k-1-KkZk|k-1,KkSR,k]T，

(24)

dk=(1-b)/(1-bk+1),0

(25)

通过式(25)中的遗忘因子b限制滤波器记忆长度，增加新数据对当前估计的作用，减小陈旧数据的影响。通过式(23)可实现在线递推估计，并修正SICKF算法中的噪声均值q、r和协方差Q、R，避免滤波精度降低和发散，提高了SECKF滤波的稳定性、适应性。在增强算法的自适应性同时，由于要估算噪声的统计特性，计算量随即增加，在实际应用中很难保证算法的实时性。因此，根据基于协方差匹配技术[17]，设计了合适的滤波发散判据条件来判断滤波是否异常。该判据条件为

(26)

其中：tr(·)为求矩阵的迹；γ为储备系数，γ≥1，γ=1时为最严格的收敛判据条件。当式(26)成立时，表明滤波已经发散，且实际误差超过理论预计的γ倍，此时需要通过式(23)进行噪声统计特性估算；当式(26)不成立时，则可以不再计算式(23)，从而减少了计算量，提高了实时性，最终实现了比较实用的自适应平方根嵌入式卡尔曼滤算法。

2 基于ASECKF算法估计锂电池SOC实现

2.1 电池模型建立

电池等效电路模型有很多种[18]，如Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型等。在Thevenin模型础上增加2个RC环路，改进为三阶RC环路模型，以提高模型精度和动态特性的反应。三阶RC环路等效电路模型如图1所示。

图1 三阶RC环路等效电路模型

图1中，R0,t为欧姆内阻，R1～3为电池的极化内阻，C1～3为电池的极化电容，Uoc,t为电池开路电压，Ut为电池的端电压，U1～3,t为极化电容电阻上的电压，it为通过电池的电流。由上述参数可得：

(27)

文献[19]结合松下NCR18650 A锂电池官方数据手册与实验测试数据提出了修正后的SOC定义：

(28)

其中：St0为电池荷电状态的初始值；St为电池t时刻的荷电状态；Tt为t时刻电池的温度；n为已循环充放电次数；η为电池充放电效率，充电时为98.29%，放电时为100%；QN为该电池参考容量，其值为3.2 A·h。

在电池处于不同SOC值的情况下进行脉冲放电实验，可得电池端电压响应数据，利用最小二乘法可以辨识电池等效电路模型的欧姆内阻和各极化参数。将每次脉冲前静置稳定后的端电压作为开路电压OCV的值，采用多项式拟合方法可以拟合得到OCV与SOC之间的函数关系[12]。根据NCR18650 A锂电池的实测数据计算可得各极化参数值如表1所示。

表1 等效电路模型参数辨识值

欧姆内阻与开路电压的辨识值对SOC估计影响较大，所以建立了相关函数式(29)～(31)，使其根据SOC值实时动态变化，以提高模型准确率。

R0,t(St)=0.0248St2-0.03044St+0.06699，

(29)

(30)

(31)

式(31)中ΔV为滞回电压修正量，充电时加上ΔV，放电时减去ΔV。

2.2 SOC估计算法simulink仿真实现

选取[St,U1,t,U2,t,U3,t]T作为系统的状态变量，Ut作为观测变量，采样时间为T，将式(27)与式(28)离散化后得电池状态空间方程的矩阵形式为：

(32)

将已辨识的NCR18650 A锂电池等效电路模型参数带入式(32)，结合锂电池SOC估计算法，采用simulink搭建了锂电池SOC估计算法验证仿真实验平台，如图2所示。

仿真实验平台中，利用Random Number模块设计的过程噪声模块与观测噪声模块模拟锂电池在充放电时受到的未知噪声干扰，可以设置放电工况，对比验证EKF、UKF、SRCKF、ASECKF算法的SOC估计效果。

3 仿真实验与分析

3.1 实验场景设计

此次实验将噪声都设为零均值高斯白噪声，但实际上Sage-Husa噪声估计器不能同时估计过程噪声协方差Q与观测噪声协方差R。由于过程噪声一般处于稳定状态，将Q作为已知量如式(33),R作为未知量进行估计，并设置其值分别在0.012、0.022、0.032每1000 s循环变化生成时变的观测噪声。

图2 锂电池SOC估计算法验证仿真平台

Q=diag(0.00012，0.0012，0.0012，0.0012)。

(33)

设置室温25 ℃，NCR18650 A锂电池已在官方标准下循环充满与放空了50次。现将电池充满电即实际电池SOC初值为1，采用参考标准UDDS工况，缩小一定比例设计的电流工况对电池进行放电。当电池达到规定的截止电压2.5 V时，停止放电。设采样时间T=1 s，测试电流与带有时变观测噪声的端电压曲线如图3所示。

图3 锂电池测试电流与端电压曲线

3.2 实验结果分析

为了验证在系统受未知时变统计特性观测噪声影响下基于ASECKF算法估计锂电池SOC方法的效果，给定与实际情况有偏差的先验观测噪声协方差R=0.000 5。设置状态变量中初始电池荷电状态时，给定正确值St=1。SOC估计结果对比曲线如图4所示，SOC估计绝对误差对比曲线如图5所示。从图4可看出，在放电全过程中EKF、UKF、SRCKF、ASECKF算法均能相对准确地估计出锂电池SOC值。从图5可看出，由于ASECKF算法有更高阶的非线性近似精度，并可以自适应修正观测噪声协方差R，使得误差更小，大部分时间ASECKF算法的误差曲线低于其他3种算法。SOC估计方法评价指标如表2所示。从表2可看出，ASECKF算法估计的SOC最大绝对误差为1.44%，平均绝对误差为0.45%，均方根误差为0.614%，表明在此场景下估计精度与稳定性均好于基于SRCKF、UKF、EKF算法的锂电池SOC估计方法。

图4 SOC估计结果对比曲线

为了验证ASECKF算法估计锂电池SOC方法的收敛性，在其他条件不变的情况下，设定错误的荷电状态初始值St=0.5。SOC估计方法收敛性验证仿真结果如图6所示。从图6可看出，4种算法均具有向真实值收敛趋势，但是收敛速度与收敛效果不同。结合表3可知，EKF、UKF、SRCKF算法收敛速度极快，能在大约8 s内就能快速收敛完毕，但是收敛时的估计值与真实值有一定误差。ASECKF算法的收敛速度相对较慢，收敛时间约为50 s，但收敛时的SOC估计值能够较为准确地收敛到真实值。从图7可看出，EKF、UKF、SRCKF算法收敛后继续进行SOC估计时并不稳定，容易偏离真实值，但ASECKF算法收敛后还能继续以微小的误差波动稳定的估计SOC值，平均绝对误差为0.543%，均方根误差为0.818%，表现出了良好的自适应性和鲁棒性。

图5 SOC估计绝对误差对比曲线

SOC估计方法最大绝对误差平均绝对误差均方根误差ASECKF0.014 400.004 500.006 14SRCKF0.020 080.005 730.007 72UKF0.016 850.005 860.007 65EKF0.017 490.006 240.007 98

图6 SOC估计方法收敛性验证结果

图7 SOC估计方法收敛性实验误差对比曲线

SOC估计方法收敛时间/s平均绝对误差均方根误差ASECKF500.005 430.008 18SRCKF20.019 070.023 56UKF80.009 690.012 29EKF20.010 070.012 80

4 结束语

在SECKF算法的基础上，采用基于最大后验估计的噪声统计估计器与基于模型输出残差序列的协方差匹配的概念，提出了一种基于自适应平方根嵌入式容积卡尔曼滤波(ASECKF)算法的SOC估计方法。提高了基于SRCKF算法估计锂电池SOC精度同时，增强了方法的自适应性和鲁棒性性。仿真实验表明，该方法在噪声先验信息未知和随机干扰下，能够精确估计出锂电池SOC。