开放性试题教学探索

何东

近年来，数学中考“开放性试题”的地位已经日益凸显。新课标要求：学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。 开放性试题的主要特征是“开放性，实践性，创新性”。所以，在平时的教学过程中，要充分把握开放性试题的特性。只有这样，才能够将开放性试题的作用落到实处，才能真正体现出新课标的思想，才能有效激活学生思维。以下是笔者在“开放性试题教学”中一些粗浅认知，希望与同仁一起共同探讨。

凸显开放性

开放性作为“开放性试题”最重要的特征，也是我们在平时教学需要重点关注的。其中开放性试题又可以分为：问题内容的开放性;问题对象的开放性;问题解答途径的开放性;问题解答方法的多样性;还有提出问题的对象的多样性。有些试题同时具备这些特征或者具备其中的一些特征。在教学中，教师要充分抓住这些特征，巧妙地进行教学。

案例1：如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=3，求⊙O的半径。

评析：原题的内容比较单一，考查知识点起点低。但是，我们可以在原题的基础上，继续利用资源。充分挖掘题材中存在的空间，并且考虑不同对象的知识层次和接受能力。

①若BC不是⊙O的直径，其它条件不变，那么⊙O的半径还会是3吗？学生可能会认为AB不是⊙O的直径，当然不能解直角三角形，故半径不是3，这是思维定势的影响，教师可借机促使学生思考：难道就没有直角三角形了？（如图2虚线部分）

②若设∠A=a，BC=a，⊙O的直径是多少？

有了上题的经验，不难得出⊙O的直径为    。教师还能深化，对上述问题进行小结：

（1）通过对试题的变形及解决，你学到了哪些方法？

（2）这三个问题中，你发现了什么？

这样设计本题的讲解，能让学生感悟知识生成、发展与变化的过程，训练学生真理理解和掌握数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学经验，同时让问题的内容和对象真正的开放。

案例2：已知：AB是⊙O的直径，且OD∥AC

求证：

按教师原先设计的预案，本题比较简单，只要连结OC得到两个圆心角∠1=∠2就可得到两条弧相等。但是教师千万不要按照自己的预设，自说自话。要把发言权还给学生，他们的解答往往会出乎意料：

生1：连结AD

∵AC∥OD       ∴∠3=∠D

又∵OA=OD，      ∴∠4=∠D

∴∠1=∠4+∠D=2∠D=2∠3

∴

在本案例中，面对学生中出现的层次问题。教师应该为他们创设宽松的学习环境和自主探索的空间。用“一题多解”真正解放学生被禁锢的思维。在充分表达的过程中，学生思维迸发出绚丽的火花，生成新的更有价值的见解。

数学教学效率的高低不取决于教师打算教给学生什么，而取决于学生实际获得了什么。只有引导更多的学生主动参与数学活动才能内化数学基础知识、基本技能和与数学知识相关的数学思想方法，才能提高发展学生的数学素质。

关注实践性

“实践性”也是部分开放性试题拥有的主要特征，这类试题通常会有生活背景，和学生的生活经验以及应用数学的能力都是息息相关的。在教学中，生活经验这部分不是靠一两节课就能弥补的。但是，可以通过观察，动手，猜想，验证来强化开放性试题的直观性。

案例2：水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部。若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）。若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为      。

本案例是2010年绍兴数学中考16题。学生初次接触这类题目，一头雾水。解决这个的问题方法很多，但是学生首要的是“理解题意”。最好的方法就是动手实践，动手试试可以将心中的很多“问号”一一消除。初步直观的体会之后，学生就有这个概念，求α的余弦值必须将立体图形转化成平面图形来解决。在“立体”向“平面”转化的过程中，也可以通过实践操作来验证。總之，实践也是开放性试题教学的重要手段，要恰到好处地发挥它的作用。

培养创新性

开放性试题具有创新的空间，及时有效的发挥试题的创新性，可以拓展学生的思维空间，提升学生的解题能力。教师要善于发现创新的机会，及时渗透。

显而易见，开放性试题的教学越来越被教师所重视，随着众多师生的积极参与和运用，开放性试题的内涵与题库会越来越丰富，它必将对学生思维能力的培养和良好个性品质的形成起到更大的作用。当然数学开放性题目是传统教学的一种补充。教师在进行教学时必须合理取舍，从而实现教学新目标。

（作者单位：浙江省诸暨市开放双语实验学校）