函数的单调性在高中数学中的学习与应用

摘 要：在高中数学知识中，函数单调性是学习的重点和难点，也是学生必须要掌握的知识内容，其对于提高学生解题效率和保证解题正确率有着至关重要的作用。因此，学生必须要真正的理解和掌握函数单调性的概念和性质，且能够灵活运用函数单调性进行解题。所以，本文首先对函数单调性对高中数学学习的重要意义进行了简要的阐述;其次，从求解方程、求解不等式以及求解导数等三个方面对于函数单调性在高中数学中的具体应用进行了详细的探讨分析，期望能够提供一定的参考建议。

关键词：函数单调性;高中数学;学习应用;

一、引言

在高中数学学习过程中，函数单调性是重要组成内容。函数单调性主要描述两个变量之

间的关系，其主要运用于求解不等式、求解最值和取值范围等方面。因此，对于高中学生而言，其在学习函数单调性这部分数学知识时，必须要充分了解和掌握函数单调性的特点和性质，并且在数学解题中能够灵活运用相关的知识点，促进学生学习效率和解题效率的全面提升。所以，本文将对高中数学中函数单调性的学习与应用进行深入的探索与研究。

二、函数单调性对高中数学学习的重要意义

在高中数学学习中，函数是重要组成内容，且占据着较大的比重。因此，学生为了能够

提高自身的数学学习效率，必须要充分的、熟练的掌握函数单调性方面的内容。在学习过程中，能够深层次的理解函数单调性的相关概念和性质是前提所在。为了加深印象和理解，学生可以借助于数学教材中的案例进行诠释。其次，在此基础上，学生需要熟练掌握函数单调性的变化效果，掌握函数单调性中的重点和核心知识，提高知识运用的灵活性。最后，学生可以对函数单调性的有关知识进行归纳和总结，形成系统性的、完整性的知识结构，加深记忆与理解，为今后其他数学知识的学习打下坚实的基础。总之，函数单调性对于高中数学学习具有非常重要的现实意义。

三、函数单调性在高中数学中的学习与应用

（一）求解方程方面的具体应用

方程是高中数学题的组成内容之一，主要是利用等式来求解未知数，占据着至关重要的

地位。因此，将函数单调性相关知识充分运用到数学方程中，将会促进解题效率得到全面提升。例如，在求解方程式“x3+2x+（x+1）3+1=0”过程中，可以借助于函数单调性的相关概念，将该方程式拆项再凑项转化成为“x3+x+[（x+1）3+（x+1）]=0”，由于函数f（x）=x3+x在区间（-∞，+∞）恒为单调增函数，且为奇函数，即f（-x）=-f（x）。因此，利用该函数性质，可以将原方程转化为，利用函数为积奇函数的性质，即，同时，又由函数为单调递增函数，可知，所以可以求解得知x=-0.5。所以，在该例题求解过程中，将函数奇偶性与函数单调性两者相结合，不仅可以将原方程进行简化处理，还可以提高解题速度。

（二）求解不等式方面的具体应用

学生高中数学学习过程中，若由于对于数学知识体系结构等方面知识掌握不够全面和深入，其在使用数学公式进行求解时会存在着较大的难度，必然会对解题效率造成一定的影响，解题正确率也无法得到有效的保证。因此，在高中数学不等式求解过程中，若学生能够巧妙的运用函数单调性进行求解，将会大大缩短解题时间，同时，使得解题正确率也可以得到提升。学生在运用函数单调性求解不等式时，应该明确不等式的具体分类，并且将函数单调性与数形结合以及换元等方法相结合来求解，使得解题效率和正确率可以得到保障，同时，促进学生解题能力和逻辑思维能力得到充分的锻炼和培养。例如，在求解下述例题中“已知a、b、c∈R，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，请证明ab+bc+ca+1>0”，在求解该不等式，可以将题目转换为f（x）=（b+c）x+bc+1，根据函数单调性，可知当x∈（-1，1），f（x）>0恒成立。然后，当b+c=0时，此时f（x）=1-b2>0也是恒成立的。若b+c≠0时，由于一次函數在x∈（-1，1）上具有单调性，恒大于0，所以当|a|<1，|b|<1，|c|<1时，f（x）>0也是恒成立的。所以，运用函数单调性原理，可以保证解题答案的完整性。

（三）在求导问题中的具体应用

在高中数学解题中，求导问题是重要的题型之一。运用函数单调性可以有效解决求导问题。在导数求解过程中，首先，学生需要充分的、熟练的掌握函数导数的有关概念和性质，准确了解函数导数的具体应用方向;其次，学生必须要深刻理解函数导数的基础知识以及深刻含义，掌握函数导数的典型题型，便于灵活选择合适的方式进行求解，提高解题效率。在导数求解过程中，针对部分题型，学生可以考虑利用函数单调性进行相应的求解。例如，有如下例题“y=x2-x3+5，请判断函数的单调性，并且求解该函数的区间。”首先，得到该函数的导函数为y'=2x-3x2，当导函数为零时，求解得到两个值分别为0和2/3，因此，可以将x分为x∈（-∞，0）、x∈（0，2/3）以及x∈（2/3，∞）这三个范围分别讨论。因此，可知当x∈（-∞，0）时，导函数恒小于0，即函数在该区间内为减函数;当x∈（0，2/3）时，导函数值恒大于0，则可知该函数y在该区间内为增函数;当x∈（2/3，∞）时，导函数恒小于0，则该函数在区间范围内为减函数。由此可见，由导函数与函数单调性两者之间的联系，可以达到快速解题的目的。

四、结束语

综上所述，学生在高中数学学习过程中，充分利用函数单调性的性质，可以促进学生解题效率的提升，同时还可以保证解题的正确性，化难为简，有效降低题目的难度。函数单调性对于高中数学学习有着重要的作用。因此，学生必须要充分掌握函数单调性的具体应用场合和应用技巧，对于所学的知识点进行归纳和总结，从而促进高中数学学习效率的有效提升。

参考文献

[1]薛志量.谈高中数学函数教学中学生逻辑思维的培养[J].才智，2017（12）：20.

[2]蔡明果.关于高中数学函数单调性解题方法探讨[J].数理化解题研究，2017（01）：45.

作者简介：柏元兵（1970.08-）男，江苏盐城人，江苏省大丰区新丰中学数学组教研组长;高级教师（大丰区教学能手），研究方向：数学教学。