小学数学建模研究综述

李晓梅 蔡文平

摘要：数学建模是近几年数学课程改革研究的热点话题之一，目前的相关研究主要集中在数学模型、数学建模与模型思想，以及小学数学建模的定位、作用和教学方法等方面。未来还要关注建模教学的基本特征和基本要求、建模教学中的师生角色、适合小学生的建模教学方法、学生建模的评价和教师建模教学的评价等问题。

关键词：数学模型 数学建模 模型思想 建模教学

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度重点自筹课题“基于核心素养的小学数学建模教学策略研究”（编号：Bb/2018/02/86）的阶段性研究成果。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确地把“模型思想”列入数学课程内容，提出了建立和求解数学模型的具体过程，其目的是帮助学生初步形成模型思想;同时，还在“课程目标”中要求学生“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能”。然而，目前我国有关义务教育阶段数学建模的理论研究与教学实践都比较薄弱，很多教师对数学模型和数学建模的含义以及它们与模型思想间相互关系的认识含糊不清。为了更好地开展小学数学建模教学，本文拟对数学建模的相关研究进行综述。

一、数学模型、数学建模与模型思想

我国数学教育研究工作者和实践工作者对数学建模的研究，目前主要集中在数学模型、数学建模与模型思想等方面。

（一）数学模型

关于数学模型，主要有以下三类观点：

1.数学模型是一种数学结构。徐利治认为，数学模型是“参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构”徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983：15。。

2.数学模型是一种研究对象。戴朝寿等认为，数学模型是“通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象”戴朝寿，孙世良.数学建模简明教程[M].北京：高等教育出版社，2007：1-8。。

3.数学模型是一种问题描述。张劲松认为，数学模型就是“把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述”张劲松.数学模型与数学教学[J].课程·教材·教法，2008（3）：42-47。。

无论数学模型是一种问题描述，是一种数学结构，还是一种研究对象，广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型;狭义地说，“只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型”徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983：16。。数学模型的复杂度与实际问题的复杂度正相关。

（二）数学建模

关于数学建模，主要有以下四类观点：

1.数学建模是一种活动过程。史宁中认为，数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：106。。

2.数学建模是一种解决问题的过程。王尚志认为，数学建模是“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程”王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（9）：33—38。。

3.数学建模是一种学习过程。刘来福等认为，数学建模是指根据需要，针对实际问题建立数学模型的过程，也就是：通过对实际问题的抽象、简化确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的明确的数量关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证。若通过，则可以投入使用;否则将返回去，对问题的假设进行改进刘来福，黄海洋，曾文艺.数学模型与数学建模（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2002：1—12。。

4.数学建模是一种核心素养。数学建模是“对现实问题进行數学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”⑧中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2017：5，5—6。。

上述对数学建模的定义都是描述性的，关键是要理解它的本质。事实上，数学建模是学生学习数学的一种新方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识;同时，它有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题⑧。

（三）模型思想

李光树认为，模型思想就是“将实际问题转化成数学问题，并经过对问题中的数量及其关系的提炼、抽象、简化构建数学模型，并通过求解、验证与拓展数学模型等活动而实现问题解决的思想”李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社，2014：277。。

《义务教育数学课程标准（2011年版） 》指出，“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。

赵世恩等认为，模型思想的最本质特征是，模型的建立和问题的求解是分离的赵世恩，于然.数学模型·数学建模·模型思想[J].现代中小学教育.2018（8）：31—36。。

（四）三者的关系

马云鹏认为，数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界客观事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学建模不仅在内容上反映出数学学科本质，也是问题解决中所需的核心数学知识与技能马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）：36—39。。數学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式，是应用数学解决实际问题的基本手段。模型思想是数学学科的基石之一，也是学生学习数学知识，理解和掌握数学知识所要追求和实现的目标。模型思想渗透在数学模型构建以及运用构建的数学模型去解决实际问题的全过程中。只有亲身经历数学建模过程，学生才能发现和提出问题，才能体会数学与现实生活的联系，才能有意识地用数学语言表达现实世界，才能用数学模型解决实际问题，才能积累数学活动经验，才能认识数学模型在科学、社会、工程、技术等领域的作用。学生只有亲身体验数学建模过程，才能“再创造”数学模型，才能充分感悟模型思想;另一方面，学生充分感悟模型思想后，才会形成数学建模的意识和能力。

二、小学数学建模的定位

小学数学建模的根本目的是初步培养建模意识和能力，感悟模型思想，感受数学建模的价值。

庄惠芬认为，小学数学建模的定位要关注“对象的儿童性，目标的指向性，途径的渗透性”庄惠芬.合理把握小学数学建模的定位[J].江苏教育（小学教学），2011（3）：9—11。。为此，教师要引导学生在探索现实生活或贴近其他学科背景的实际问题中形成一些简单数学模型，并对模型进行恰当的解读和应用;同时，要充分挖掘教材中蕴含的数学建模素材，打通学科界限，促进知识的整合与融通，精心设计问题情境，把实际问题数学化，并注重运用数学模型去解决复杂的生活实际问题。

许卫兵认为，“数学学习只有深入到模型和建模的意义上，才是一种真正的数学学习。这种深入，就小学数学教学而言，更多的是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力”许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012（1）：89—94。。小学数学建模过程，其实就是生活问题或现实问题“数学化”的过程，是数学学习过程中获得模型意义数学结构的过程。第一学段，往往由具体、形象的实例开始，在操作中内化和强化，最后扩展和推广，赋予更多模型意义，初步渗透模型意识;第二学段，则要关注数学学习中的模型，经历建模过程，初步培养建模意识和能力。

综上可见，小学数学建模，在一定程度上就是建立一种具有数学结构特征的“模型”载体，并通过这种载体进行数学抽象，为后续学习提供有力支持。小学数学建模的目标定位，必须符合学生学习内容（基本概念、公式、法则等）的特点和学生的认知水平（形象思维为主，抽象概括能力开始形成）。

三、小学数学建模的作用

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确了模型思想的重要意义——沟通数学与生活的桥梁。这不仅表明了数学的应用价值，而且明确了建模是数学应用和解决问题的核心。小学数学建模的作用主要体现在以下三个方面：

（一）促进问题解决

数学建模是运用数学知识解决实际问题的基本手段。数学模型是认识现实生活、解决生活实际问题的工具，是对现实生活中数学信息提炼、分析、归纳和转换的结果，它能准确表达对象的内在特征，有助于加深对实际问题的认识。虽然小学生很难有机会经历完整且严密的数学建模过程，但是把数学知识应用于实际问题的过程，就是他们体会数学与生活联系的过程。他们在现实问题情境中学数学、做数学、用数学，复杂的实际问题会变得本质化、简洁化甚至一般化，使一类数学问题有了相同的解决程序和方法。

（二）提升数学品质

数学建模的本质在于体现原始问题的分析、假设和抽象等数学加工过程。数学工具、数学方法和数学模型的选择、分析、求解、验证、再分析、修改假设以及再求解的过程，完整地体现了学数学和用数学的关系。这种过程给学生“再现了一种微型的科研过程，不仅能促进小学生数学眼光、数学意识和数学素养的提升，关键还促进了数学品质的提升。这样的价值对学生当下以及今后的学习和工作无疑会有着很好的影响”庄惠芬.合理把握小学数学建模的定位[J].江苏教育（小学教学），2011（3）：9—11。。

（三）形成建模意识

数学模型是对现实世界特定研究对象进行必要简化和假设后，用数学工具，通过数学语言提炼、表达出来的数学结构。数学建模过程能集中体现一类事物或一类现象在数量等方面的共性。学生在亲身经历把实际问题抽象为数学模型并解释、应用的过程中，不但能获得数学理解，发展思维能力，而且能获得建构数学模型、解决实际问题的思想、程序和方法，逐渐形成“数学形式”及其解题策略体系，初步形成建模意识，“对数学问题的把握就会更贴近本原，目光更长远”储冬生.数学建模：是一种方法，更是一种意识——基于建模思想的小学数学教学举隅[J].江苏教育（小学教学），2011（3）：13—16。。

四、小学数学建模教学方法

数学建模最关键的步骤是把实际问题抽象成数学模型。确定问题是小学数学建模活动的关键。这个问题，要贴近学生的认知水平和年龄特征，要紧密联系生活;可以由教师提供，可以由教科书提供，可以由学生根据教师提供的问题情境自主提出，也可以由学生自主发现并提出。

赵建昕认为，教师在数学建模教学中要关注：（1）系统渗透数学建模思想，培养初步的建模思维意识;（2）精选与解剖优秀的赛题与参赛作品，培养双向翻译能力;（3）讲授建模的具体思维方法，培养建模能力;（4）类比引导，培养观察和猜想能力;（5）立足教与学，培养逻辑思维能力;（6）加强训练，培养评价能力赵建昕.提高数学建模能力的策略研究[J].数学教育学报，2004（3）：50—52。。

喻平认为，在数学建模教学中，教师可以通过“应用模式和建构模式结合训练数学建模”，“帮助学生总结、归纳数学建模的基本形式，形成知识的系统性”“强调方法的系统性，注重相对具有普遍适用性的数学建模方法的教学”“设计一些开放性问题的建模，探究不同方法建立的模型”喻平.数学核心素养的培养：知识分类视角[J].教育理论与实践，2018（17）：3—6。。这里，“应用模式”是指学生用学过的模式解决问题，“建构模式”是指学生根据题目要求组合模式或建构一个新的模式。无论哪种模式，只要应用得当，都能有效引导学生建构数学模型。

王永春认为，学生学习数学模型包括基本模型的学习和用基本模型解决各种问题两种情况王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：90。。学习基本模型的过程，可以是学生“再创造”模型的过程，也可以在现实或动画模拟中理解模型意义（模型抽象，操作难度较大，不宜“再创造”）;而用基本模型解决各种问題的过程，就是用所学基本知识解决教科书中丰富多彩的习题或者各种课外问题。

许卫兵认为，不同年级、不同内容以及不同学习对象的数学建模方法有一定的差异性和关联性。“教师的‘模型’眼光和‘模型’意识决定着建模教学的深刻性和数学课堂的品质。教师要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用，使学生产生深切体验和感悟，促使他们在数学学习中能积极、主动地构想模型、建立模型和运用模型。”许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J]·课程·教材·教法，2012（1）：89—94。如果教师能对学生建模、用模的水平进行适当评价和鼓励，教学境界就会明显提升，学生对数学建模的兴趣就会越来越浓，甚至慢慢着魔，就会深刻而持久地影响他们的数学学习和生活。

许敏芳认为，数学建模教学要引导学生“在现实生活中寻找知识本源，在数形结合中厘清数量关系，在多元表征中丰富概念意象”许敏芳.把握数学本质促进有效建模[J].中小学数学（小学版），2015（9）：8—10。。

王尚志等认为，小学阶段开展数学建模活动有三种模式：“一种模式，如何把数学建模思想融入日常教学的某些内容;一种模式，运用数学建模思想，把课内外结合起来;还可以探索把数学建模与综合实践活动结合起来的模式，可以设计为几天完成的‘小课题’。”王尚志，胡凤娟，张丹.小学数学建模教学的探索[J].江苏教育（小学教学），2011（3）：7—9。

综上可见，一个比较完整的数学建模内容，应该包括情境、问题、设计、建模过程、结果、交流展示和反思，实际教学中，可以根据需要只体现其中的部分内容。引导学生有效建模，教师要结合学生的生活经验创设生动有趣的问题情境，帮助学生把生活经验数学化、把数学问题生活化，抓住知识本源，实现知识和原型间的自由切换，为顺利建模奠定基础;要鼓励学生积累一定的数量关系结构化分析信息，把复杂问题简单化，把抽象问题形象化，促进学生灵活选择合理方法，有效解决问题;要根据数量间的本质关系，把生活问题抽象成纯数学结构，进而概括出数量关系模型，实现数量关系结构化，提高学生解决问题的能力;要从数学知识结构和学生认知结构出发，帮助学生在数学活动中建立直观表象，使学生对概念的认识从生活到数学，并把新概念纳入学生原有知识体系中，实现数学概念的同化。

五、小学数学建模教学展望

在小学数学建模教学中还会遇到很多具有挑战性的问题，如建模教学的基本特征和基本要求，建模教学中的师生角色，适合小学生的建模教学方法，学生建模的评价和教师建模教学的评价，作为学生核心素养之一的数学建模与其他核心素养之间的关系等。这些问题需要进一步的思考与研究。

（李晓梅，江苏省泰兴市教师发展中心小学数学教研员，泰州市卓越教师培养对象，泰州市小学数学学科带头人。研究方向：小学数学教育教学研究和师资培训。蔡文平，江苏省泰兴市襟江小学数学教师，特级教师。研究方向：小学数学建模教学和研究。）