中学生数学思维品质发展的心理学研究及其对教学的启示

2019-09-10缪婷章喻平

教育研究与评论（中学教育教学） 2019年9期

缪婷章喻平

摘要：思维品质是指个体在思维活动中智力特征的表现，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性五个方面。心理学对中学生数学思维品质的发展展开了比较深入的研究。将这些研究中的实验干预因素或结论应用于数学教学，可以得到的教学策略有：变式教学，培养思维的灵活性;开放式教学，培养思维的深刻性;自主提问，培养思维的独创性。

关键词：数学思维品质变式教学开放式教學自主提问

新课程改革提出了以培养学生核心素养为导向的教学目标。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学学科的核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。因此，学生数学思维品质的发展与数学核心素养的发展密切相关。而心理学对数学思维品质做过不少研究，本文重点对一些关于中学生的研究做简单介绍，并将其结果应用到教学中。

一、心理学对思维品质的认识

思维品质，又称思维的智力品质，是指个体在思维活动中智力特征的表现，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性五个方面，它们相互促进、共同发展，同时也有各自独特的规律和特征。

思维的深刻性是指思维活动的广度、深度和难度。一个人的思维是深刻的，是指他在智力活动中，能够深入地思考问题;善于概括归类，逻辑思维能力强;善于透过现象抓住事物的本质和规律，开展系统的理解活动;善于预见事物发展的进程。显然，研究思维的深刻性主要应当从概括能力和逻辑推理能力两个方面进行。

思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，包括思维起点灵活、思维过程灵活、概括—迁移灵活、组合—分析灵活。判断一个人思维灵活性的强弱，不仅要考察他是否善于举一反三、运用自如，还要看他能否灵活地综合分析问题和解决问题。

思维的独创性是指个体在思维活动中的创新精神或创造性特征。在实践中，除了善于发现问题之外，更重要的是能够创造性地解决问题。独创性的实质在于能够对知识经验或思维材料进行高度概括后实现集中而系统的迁移，进行新的组合分析，建立新的层次结构。

思维的批判性是指个体在思维活动中进行独立分析和批判的程度，它是思维活动中严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质。它的实质是思维过程中自我意识作用的结果，与自我反思、自我监控以及元认知等要素交融互补、交叉重叠。

思维的敏捷性是指个体思维活动的速度，表现为一种迅速而正确的特征，它反映了智力的敏锐程度。研究思维的敏捷性主要应当从思考问题时的速度和准确度两个方面进行。

显然，正如道德品质可以衡量一个人道德水准的高低一样，思维品质反映的是一个人思维质量的高低，它直接影响人的认知水平。

二、心理学对中学生数学思维品质发展的研究

林崇德通过测量发现，随着年级的增高，小学生思维的灵活性、深刻性、独创性都在逐渐增强，其中，思维的灵活性在各年级之间没有显著差异，三、四年级是思维深刻性和独创性发展的一个转折点;随着年级的增高，中学生思维的灵活性、深刻性、独创性、批判性都在逐渐增强，其中，思维的灵活性发展到高中一年级趋于稳定，初中三年级是思维深刻性发展的关键期，思维的独创性在整个中学阶段发展得还不够成熟，高中生思维的批判性比初中生更加成熟。

林崇德还对中学生思维品质的培养做了针对性的实验研究。在思维灵活性培养的实验中，其干预手段是进行发散思维的训练，引导学生从不同角度、不同方向思考问题，用多种方法解决问题。在思维深刻性培养的实验中，其干预手段是加强数学思想方法的渗透，着重训练学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。在思维独创性培养的实验中，其干预手段是鼓励学生自己编制题目，提倡用独特的方法解决问题。在思维批判性培养的实验中，其干预手段是进行自我监控的训练，使学生养成反思的意识。

其实，让学生自己编制题目，也会对其他思维品质的发展产生促进作用。曹瑞珍通过让实验班的学生从模仿编题、变式编题、限制条件编题、以旧带新编题四个层次开展编题活动，发现实验班的学生对知识的理解比对照班的学生更为透彻。可见，自己编制题目促进了学生思维品质的发展。

而且，对学生进行元认知的训练，也会对其他思维品质的发展产生促进作用。董奇在阅读教学的研究中，有目的、有计划地丰富学生的各种阅读元认知知识，并在学生阅读的过程中，注意培养他们的元认知监控能力。经过一学期的干预，对学生思维品质的测试结果显示：实验组前测与后测分数存在显著差异，实验组与控制组后测分数存在显著差异，从而可以推断元认知与思维品质存在因果关系。因此，加强元认知的训练是提高学生思维品质的突破口。于文华和喻平做了类似的研究：对高三年级四个班的学生进行数学学科自我监控能力和数学思维品质的测量，以数学学业成绩为因变量，结果发现，自我监控能力、思维品质以及学业成绩存在高相关关系;再用结构方程模型进行分析，发现自我监控能力通过思维品质这一中介变量作用于学业成绩。这项研究不仅说明了自我监控能力对思维品质和学业成绩有影响，而且说明了思维品质对学业成绩有影响。因此，发展学生数学思维品质的重要性也显现了出来。

当然，影响数学思维品质的因素还有很多。李明振通过对初一、初三、高二各两个班的学生进行数学思维灵活性测验和镶嵌图形测验，结果发现，不同认知方式学生的思维灵活性不同，场独立水平高的学生具有高灵活性。他接着研究了气质与数学思维品质的关系：通过对初二学生进行气质量表和数学思维品质策略问卷的测量，分析发现，学生的气质类型与数学思维品质也具有一定的相关性。

情绪对思维品质也会产生影响。Vosburg对88名艺术和心理学专业的学生用形容词清单测量情绪，以现实生活中的发散思维任务为因变量，对思维的独创性进行评分，研究发现，自然、积极的情绪对任务绩效有显著促进作用，消极的情绪对任务绩效有抑制作用。因此，积极的情绪有助于思维独创性的发展。

此外，秦向荣和喻平对数学思维的灵活性与深刻性做了研究。通过对照实验，对实验组的学生采用四种教学策略——（1）问题链教学：以问题为主线，以“发现问题—解决问题—再发现问题”为过程，不断产生问题链。（2）抛锚式教学：围绕某一“锚”（某种类型的个案研究或问题情境），设计学习与教学活动，引导学生对教学内容进行探索。（3）分层教学：针对不同层次的学生提出相应水平的问题，同时鼓励不同层次的学生向更高层次发展。（4）建构知识网络图式教学：把概念图和思维图引入教学，帮助学生建构知识网络。结果发现，实验班学生与对照班学生在数学思维的灵活性、深刻性方面存在显著差异，实验班学生的这两种思维品质得到了较好的发展。

三、对中学数学教学的启示

上述心理学研究，为在中学数学教学中培养学生的数学思维品质提供了可以借鉴的参考线索。

（一）变式教学：培养思维的灵活性

思维的灵活性意味着思维是多向的，不能固守一条思维链，要能够根据问题的性质灵活地从一个思考方向转向另一个思考方向。上述心理学研究表明，训练学生的发散思维能力，是培养思维灵活性的一种有效策略，诸如一题多解、一题多变等，都是具体的手段。事实上，将这些教学手段做进一步概括，它们指向的就是变式教学。

顾泠沅认为，变式教学可以分为概念性变式和过程性变式两种。概念性变式是指用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出本质特征，让学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一类事物形成科学概念。过程性变式是指在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。过程性变式主要应用于概念的形成、数学对象和背景的转换、数学命题的形成、数学问题的解决四种过程。显然，概念性变式主要是帮助学生理解一个概念本质属性的教学方式，是围绕一个概念理解的教学方式;过程性变式主要是将概念形成和问题解决的过程分解为一系列子过程，从而帮助学生形成概念和解决问题。

我们认为，“变式”应当有更加广泛的含义，不能局限于单个概念的理解或单个问题的解决，还应包括从一个概念通过变式生成多个概念，由一个命题通过变式生成多个命题。变式教学就是设计恰当的问题情境，提供概念或命题可能会如何变式的诱因，引导学生主动探究，发现新概念或新命题的过程。一般说来，对概念或命题的变式，可以通过改变命题的条件、变化图形的位置、设置不同的情境等方式来实现。

【案例1】“函数的周期性”变式教学

启发引导1函数周期性定义中的条件是什么？能否把条件做一些变化？

变式1若函数f（x）满足f（x+a）=-f（x）（a≠0），f（x）是周期函数吗？

变式2若函数f（x）满足f（x+a）=±1f（x）（a≠0），f（x）是周期函数吗？

启发引导2还能进一步改变条件吗？如果改变了条件，发现它不再是周期函数了，你能否采用添加条件的办法，使它变为周期函数？

变式3若函数f（x）满足f（x+a）=f（x-a）（a≠0），f（x）是周期函数吗？

变式4若函数f（x）满足f（x+a）=f（a-x）（a≠0），且f（x）为奇函数，f（x）是周期函数吗？

启发引导3刚才我们是从改变定义的条件去思考的，现在从图像来分析，你能得到什么猜想？

变式5若函数f（x）的图像关于直线x=a和直线x=b（a≠b）对称，f（x）是周期函数吗？

变式6若函数f（x）的图像关于点（a，0）和点（b，0）（a≠b）对称，f（x）是周期函数吗？

這样的教学设计不仅可以在知识教学的过程中培养学生思维的灵活性，而且能够在习得知识之后培养学生解决问题的灵活性。因为通过这种学习方式，学生头脑中形成了函数周期性概念的体系，从而能够应对涉及函数周期性的不同问题的解决。

（二）开放式教学：培养思维的深刻性

开放式教学是指设计一种“情境开放”“问题开放”或“方法开放”的环境来组织教学的方式。情境开放，可以让学生从不同的角度观察，从而提出不同的问题;问题开放主要指结论的开放，可以让学生根据自己的能力得到难度不同的结论;方法开放指解决问题的方法不一定唯一，可以让学生用多种方法来解决同一个问题。

无论情境开放、问题开放，还是方法开放，均需要学生在开放中寻找问题、研究问题。因此，要求学生具备一定的抽象概括能力和逻辑推理能力。上述心理学研究表明，这两种能力的训练是培养学生思维深刻性的有效途径。

【案例2】“圆的切线与割线”开放式教学

情境如图1，AB、AC是圆的切线，ADE是圆的割线，连接CD、BD、BE、CE。

图1

问题1由上述条件能推出哪些结论？

探究1由已知条件可知∠ACD=∠CED，而∠CAD=∠EAC，所以△ADC∽△ACE。（1）

所以CD·AE=AC·CE。（2）

同理可证BD·AE=AB·BE。（3）

因为AC=AB，所以由（2）（3）可得BE·CD=BD·CE。（4）

思考还能推出其他结论吗？

问题2将图1中的线段AC以A为中心顺时针旋转一定的角度，使AC不再是切线，得到下页图2，此时又能推出哪些结论？

图2

探究2由于点C在圆外，设CE与圆相交于点G，CD与圆相交于点F，连接FG。与探究1所得到的结论相比较，可以猜想△ADC∽△ACE。（5）

还可以得到FG∥AC。（6）

问题3将AC继续以A为中心顺时针旋转，使图2中的割线CFD变成切线CD，得到图3，此时又能推出哪些结论？

图3

……

这里，通过情境与问题的开放，引导学生探究提出不同的问题，得到不同的结论，培养学生思维的深刻性。

（三）自主提问：培养思维的独创性

自主提问是指学生在教师设置的情境中提出新的问题，或在自己设计的情境中提出问题。研究表明，小学阶段，让学生自己编拟题目是培养学生思维独创性的有效方法;到了中学阶段，除了对学生进行自编题目的训练之外，更要注意对学生进行自主提出问题的训练。因为两者是有一定区别的：自编题目时往往提供的信息是充足的，学生只要设计一种情境将已知信息填补到问题中;而提出问题时往往提供的信息是不充分的，学生需要自己设计或补充条件来提出问题。显然，自主提问要有一定深度的思维方能实现，这恰是思维独创性的体现。

美国学者布朗（S.Brown）与沃尔特（M.Walter）给出了在已知数学问题的基础上提出问题的“whatifnot”策略（否定假设法），即对概念、命题或问题等进行分析，确定其各个属性，对每个属性运用“如果不是这样的话，那又可能是什么”的法则来提出新问题。

【案例3】从“等腰三角形腰上的高问题”出发的自主提问教学

问题1如图4，在等腰△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，过点C作CD⊥AB，过点P分别作AB、AC两腰上的高PE、PF，你能发现三条高之间的数量关系吗？

图4

这是一个结论未知但唯一的问题。学生解答完成后，教师可以提问：根据这个问题的启示，你能联想到什么问题？你能提出一个猜想吗？此时学生可能会提出如下问题：

问题2如果P是线段BC上任意一点，结论还成立吗？

问题3如果P在BC的延长线上，结论还成立吗？

问题4如果P是等腰△ABC内任意一点，会有什么结论？

然后，教师可以进一步提问：除了改变P的位置探究结论，你还能提出其他相关问题吗？学生改变思路后，可能又会提出如下问题：

问题5如果在直角三角形、等边三角形中，结论还成立吗？

问题6对于一般的三角形，会得到什么结论？

接着，教师可以继续引导学生对“在等腰△ABC中”这一属性进行否定假设，学生会推广到四边形中。