转化思想在数学竞赛代数问题解题中的应用

贾立忠 魏言钊 庄惠灵

摘 要：从条件的转化、结论的转化、特殊到一般的转化以及数与形的转化四个方面，阐述转化思想在数学竞赛代数问题解题中的应用.

关键词：数学竞赛；数学解题；转化思想

[中图分类号]G633.6 [文献标志码]A

Analysis of the Application of Conversion Thought in Solving Problems in Mathematical Competition Algebra

JIA Lizhong1，WEI Yanzhao1，ZHUANG Huiling2

（1. The First High School of Mudanjiang， Mudanjiang 157000， China；2. School of Mathematical Sciences， Mudanjiang Normal University， Mudanjiang 157011， China）

Abstract：This paper mainly expounds the application of conversion thought in the problem solving of mathematical competition algebra problem from four aspects： the conversion of conditions， the conversion of conclusions， the conversion from special to general and the conversion of numbers and forms.

Key words：mathematical competition； Mathematical problem solving； the conversion thought

转化思想在求解数学竞赛代数问题时有着广泛的应用，一些代数问题看起来错综复杂，但却可以通过转化、变形使问题化繁为简.在求解数学竞赛中的代数问题时，常常会涉及到转化思想，本文从数列、多项式、函数方程、复数四个方面的代数问题入手，以典型实例分析转化思想在数学竞赛解题中的应用.

1 条件的转化

在求解数学竞赛中的代数问题时常常可以从已知条件入手，通过变量代换、构造、局部调整等方法使复杂的问题转化为常见问题，其解题的关键就是条件的转化.

分析：首先从已知条件入手，通过拆分、移项得到一个较为明确的递推关系，然后再通过构造辅助数列，得到一个关于新数列的关系式，最后依据两数列之间的关系，化简求得原数列的通项公式.当已知条件较为复杂时，往往可以借助一些数学方法，将条件进行转化，从而通过逐步调整得到所求结论.

2 结论的转化

数学竞赛中有一些代数问题，直接求解不易，这就需要换一种角度进行思考，即从问题的结论出发做等价转化，或者从结论的反面出发，先假设结论的反面成立，然后得出与已知相矛盾，从而达到证明结论正面成立的目的.反证法体现了转化结论在解题中的应用.

分析：直接证明多项式不可约比较困难，因此，可以先假设多项式可约，然后结合待定系数法得到有关系数的等式，再利用韦达定理联系根与系数的关系，最终所得的关系式与已知不符，即可证明多项式在整系数范围内不可约.这类问题的解题关键是将所要证明的结论进行转化，通过证明等价结论成立，或者结论的反面不成立，进而使问题得证.

3 特殊到一般的转化

在解题过程中，如果很难找到条件与结论之间的内在联系，则可以从特殊情況入手考虑，通过一次或多次的赋值使得问题更加直观化、简单化，然后再结合代数的一些特性和已知的结论，适时对问题做一般化处理.

例3（第35届IMO试题） 设S是所有大于-1的实数集合，确定所有的函数f：S→S，使得满足下面两个条件：

分析：本题的解题关键是从特殊到一般的转化.首先，将方程中的未知量赋予特殊值，然后利用整体思想，找出函数的不动点，再根据具体问题分类讨论，并结合函数的性质，排除不符合题意的结论，最终得到满足条件的函数解析式.在求解此类问题时，通常从特殊情况入手，并进行逐步调整，将其转化为一般形式，进而得到最终结果.

4 数与形的转化

近几年数学竞赛代数问题的综合性越来越强，一些代数问题往往具有几何的特性，因此在求解时可以借助代数与几何之间的对应关系，将代数问题转化成几何问题进行求解.这样既能发挥代数的优势，又可以充分利用几何直观，借助形象思维获得出奇制胜的精巧解法.

分析：本题的解题关键是利用复数的几何意义，将复数表示为平面上的点，将复数的模看作是两点间的距离，使问题更加直观化.除此之外，该题还可以利用复数的运算进行求解，但解题过程就要复杂许多，因此利用数形结合的解题策略可以达到简化解题过程的目的.在求解这类问题时，要抓住数与形的对应关系，必要时可以建立直角坐标系，从几何的角度求解代数问题.

5 总结

一个人解决代数问题体现出来的能力，是根据问题情境运用各种手法重组已知条件的能力，以及正确、迅速地检索、选择和提取相关代数知识，并及时转化为适当操作程序的能力.从不同角度和已知的各种概念分析代数问题时，所运用的解题方法也各不相同.在分析的过程中，既可以从条件、结论出发，也可以从特殊情况入手，必要时还可以借助代数与几何间的关系，化抽象为具体，这也是求解数学竞赛中代数问题的基本思想.

参考文献

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编辑：吴楠