培养创新思维 突破思维定式

陈丽娜

摘要：“一题多解”是立足不同角度，辩证分析问题，综合解决问题的有效方法，契合中学数学教学理念，对培养创新思维、提高教学成效有重要作用。但是，“一题多解”核心不在于拼凑解题方法，而在于既要构建思维体系，按图索骥求解，又要突破思维定式，独辟蹊径创新，形成既有“套路”又有“出路”的良好格局。本文以一道几何题为例，谈谈如何创新教学实践，培养学生发散思维和创新能力。

关键词：一题多解;创新思维;思维定式

通过教学实践，我发现中学生学习数学普遍存在“三会三不会”现象，即会死记硬背，不会活学活用，习惯于见过做过的不一定会，没见过做过的基本不会;会死搬硬套，不会融会贯通，习惯于套用公式，稍有变通就错漏百出;会囫囵吞枣，不会真学真懂，习惯于答案抄了，错题改了，下次碰到照错不误。这种机械化学习，容易挫伤学习积极性，陷入“读书死-死读书”的恶性循环，甚至形成谈“数”色变的心理阴影。要克服“旧题不熟、新题不会、变通不行”的机械化学习，推进数学教学由死记硬背、题海战术式的应试教育向融会贯通、举一反三的素质教育转变，重点在于既要构建思维体系，按图索骥求解，又要突破思维定式，独辟蹊径创新，激发学习热情，提高学习成效。

“一题多解”是数学教学的重要方法，对启发创新思维、巩固教学成效有着重要作用。《中学数学课程标准》强调要引导学生自主探索、自主创新，努力培养创新能力，鼓励开展启发性、发散式教学。然而，当前“一题多解”文章大多局限于罗列解题方法，有的罗列五、六种甚至十几种解法，好像“谁解法多，誰就能力强、水平高”，有些解法明显东拼西凑，滥竽充数，创新启发不够。因此，我们要辩证看待“一题多解”，既要梳理常规思路，顺藤摸瓜，又要突破思维定式，另辟蹊径。本文以一道几何题为例，将“一题多解”向“一题多思”延伸，努力实现既有“套路”又有“出路”的教学实践。

例题：如图1所示，在△ABC中，点D为AB中点，AE⊥BC，AE交CD于点F，若CE=BD，∠B=60°，求证：DF=CF。

套路一：几何证明法

几何证明法关键在于构建全等或相似图形，运用相关定理判断线线之间或夹角之间的关系。有时，现有条件无法直接构建全等或相似图形，可通过辅助线构建全等或相似图形。常见辅助线大体分为三类：平行线、延长线、等分线。

方法一：作“平行线”，构建全等或相似图形

解法一：过D做DG∥BC交AE于G，在△ABE中证明DG=BE，并证明△FGD≌FEC，得DE=DC。

解：过D做DG∥BC交AE于G，如图2所示

∵DG∥BC，AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴DG=BE，BD=BE

∵CE =BD，∴DG=CE，

∵DG∥BC ∴∠FDG=∠FCE

又∵DG=CE，∠DFG=∠CFE

∴△FGD≌FEC，则DF=CF。

方法二：作“延长线”，构建全等或相似图形

解法二：延长AE于G，使得CG∥AB，构造△EAB∽△EGC，证明CG=AB，得CG=AD，再证明△ADF≌△GCF，得 DF=CF。

解：延长AE于G，使得CG∥AB，如图3所示

∵AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD ∴CE =BE

∵CG∥AB，∴△ABE∽△GCE，

又∵CE =BE，∴CG=AB=AD

∵CG∥AB，∴∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠FGC

∴△ADF≌△GCF，则DF=CF

解法三：延长CD于G，使得BG∥AE，通过构造△DAF≌△DBG得FD=DG，因为△CEF∽△CBG，得DF=CF。

解：延长CD于G，使得BG∥AE，如图4所示

∵D为AB中点，∴AD=BD

∵BG∥AE ∴∠FAD=∠GBD

∵∠FDA=∠GDB

∴△DAF≌△DBG，DF=DG=GF

∵AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴BD=BE

又∵CE =BD ∴CE =BE

∵BG∥AE

∴△CEF∽△CBG，则CF =GF=DF。

方法三：作“等分线”，构建全等或相似图形

解法四：延长BA至G，使得GA=AD，通过平行线等分线段定理证明AE∥CG，又因为A为GD 中点，得F为CD中点。

解：延长BA至G，使得GA=AD，如图5所示

∵D为AB中点，∴GA=GB

∵AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD ∴CE=BE=BG

∵GA=BG，CE=BG

∴.AE∥CG

∵GA=AD∴CF=FD

套路二：代数求解法

代数求解法关键在于将线长与夹角用代数表示，通过比较确定相互关系。在构建代数关系时要用辅助线构建全等或相似图形。以下以作平行线为例进行说明，其他辅助线参照使用。

方法四：作平行线，构建代数关系式

解法五：过D做DG∥AE交BC于G，设CE= x，则CE=EG=GB= x 。利用直角三角形性质计算各线数值。

解：过D做DG∥AE交BC于G，如图6所示

设CE= x，

∵DG∥AE，D为AB中点，

∴BG=EG=BE

∵AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD

∴CE=BE=EG，则AD=BD=2CE=2x，CE=EG=BG=x

在Rt△BDG中，∠B=60°，BD=2x，BG=x ∴DG= x

在Rt△CDG中，CG=2x ，DG= x ∴CD= x ，

又∵DG∥AE，CE=EG

在Rt△CEF中 ，EF=DG=x，CE=x

∴CF=x=CD，则CF=FD

出路法：反证法

当遇到代数求解或几何证明都行不通或很繁琐时，可另辟蹊径，用反证法寻找矛盾，反证假设的不合理性。利用反证法时可用辅助线寻找矛盾。以下作平行线进行说明。

方法五：作平行线，寻找矛盾关系

解题六：过F做FG∥AB交BC于G，假设CF≠DF，利用相似三角形性质证明CG=BG，进而证明CF=DF，说明假设不成立。

解：过F做FG∥AB交BC于G，如图7所示

假设CF≠DF

∵FG∥AB，∴G不是BC中點，即CG≠BG，

设CE=a，EG=b，BG=c，

∵AE⊥BC，D为AB中点，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

同理，在Rt△EFG中，FG=2EG=2b

∵CE=BD

∴CE=BE，则BD=BE=2a，b+c=2a ①

∵FG∥AB，所以△CFG∽△CDB，则

=，即= ②

由①②可知，a=2b，c=3b

∴a+b=c，即CG=BG

∵FG∥AB ∴CF=DF与假设矛盾，则假设不成立，即CF=DF

以上罗列的只是部分解题方法，起到抛砖引玉作用。本文重点不在于罗列所有解题方法，而在于既梳理常规解题的思维体系，又寻求突破思维定式的特殊技巧，不断强化数学思想、创新思维，从本质上、宏观上理解数学内涵，规避题海战术，提高教学成效。只要在教学实践中注重培育创新思维，由积累解题方法向构建思维体系上转变，学生的学习热情、思维层次、学习成绩就能有一个质的飞跃。

参考文献：

[1]朱天元，王辉，许定璜.初中数学一题多解大全[M].湖北教育出版社，2010.8.

[2]高保明.数学教学与科学思维能力培养[M].北京：北京教育出版社，2009.