通过数学实验认识圆周角定理及其推论

郑容

摘  要：教師使用《几何画板》中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，在演示中，教师进行了如下操作①圆周角的顶点在圆周上运动②改变弧的大小③改变圆的大小，不仅让学生获得最直接的观察思考，还从更广泛的角度去验证学生的猜想，帮助学生更好地理解圆周角定理及相关推论，针对该班学生基础较薄弱的实际，借助《几何画板》让孩子更直观的理解图形的生成，不仅方便而且科学严谨，具有充分的说服力。

关键词：几何画板，圆周角定理，探索

在初三数学中，不少学生对《圆》一章的学习感到畏惧，面对抽象变化的图形和定理感到含糊不解，因此课堂上我们老师想到了用《几何画板》模拟图形的变化，通过数学实验让学生更好地认识圆周角定理及其推论

一、学习目标描述

1、了解圆周角的概念，通过画图、观察、度量、归纳等方式探索发现“一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”及其相关推论

2、能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性，以及证明该定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况（圆心在角的边上）

3、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论，化归的思想方法

二、学习内容分析

1、学生要动手画圆周角，在动手操作中体会圆心与圆周角的三种位置关系

2、学生以学习小组为单位，合作交流，先度量角的度数，再猜想，然后教师利用软件在动态环境中验证

3、从特殊位置关系入手，再将其他一般情形转化为特殊情形

4、在学习中，要让学生充分动手，能够以画图、观察、度量、归纳等方式发现相关的结论

5、在学习中，注重领悟数学中分类讨论，化归，由特殊到一般的思想

三、学生学情分析

学习本节课时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。部分学生符合语言的运用能力不足，学生有小组合作学习的经验，课堂学习交流意识强

四、教学环节

环节1：学生阅读课本，并观察图形，教师引导学生结合图形理解圆周角的概念1、顶点在圆上2、角的两边都和圆相交，接着学生思考并回答练习中的问题，巩固对圆周角的理解

环节2：

1、学生画图，并观察图中∠BAC和∠BOC的位置关系，找到它们的关联：都对着弧BC，从而诱发对两角度数关系的思考，对两角进行度量，发现数量关系∠BAC=∠BOC

2、教师利用《几何画板》进一步拖拽点A在圆周上运动，和学生共同记下∠BCA和∠BOC变化的数据，用实验验证猜想

①圆周角的顶点在优弧BC上运动

②改变弧的大小

③改变圆的大小

3、把猜想用文字叙述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

环节3：

1、学生进一步画图：在圆上任意取弧BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，教师同时提问：圆心与圆周角有几种位置关系？

2、学生以小组为单位，交流并思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系，并画出来

①圆心圆周角的一边上

②圆心在圆周角的内部

③圆心在圆周角的外部

3、教师提问：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？学生以小组为单位，结合三种位置的图形，认识到先情形①是特殊情况，此时如图，A、O、B三点在同一条直线上，利用圆内等腰三角形和外角性质，证明比较简单，讨论后，请学生板书出证明过程

4、教师提问：在②③种情况下，又如何证明猜想是正确的？学生思考交流，尝试解决问题，教师可根据学生的情况提示：将情形②③转化为①，并共同完成证明如下

由情形①的证明可得：

∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD= （∠BOD+∠COD）= ∠BOC

学生再独立完成③的证明，从而猜想是真命题，得到圆周角定理

5、教师引导学生总结证明过程

①在动点问题中运用分类讨论

②研究数学问题可从特殊到一般，再将一般化为特殊情况，这种数学思想叫做化归

③类比我们前面所学知识，进一步认识图形中的数量关系

五、信息技术运用

1、在环节1中，学生在⊙O中，观察圆周角∠C，运用《几何画板》的度量功能量出∠A的度数，用动画功能使点C在圆周上自由的运动，同时观察∠C的度数可能有什么变化，学生可以很快发现∠A的度数在一定条件下只有有两个可能，如41°和139°，且它们相加正好等于180°，教师再引导学生以小组为单位讨论归纳：是什么条件，可反复观察图形的生成，用相关的语言尽可能的描述，最后总结出：

①同弧所对的圆周角相等;

②同弦所对的圆周角相等或互补;

③圆内接四边形的两个对角的和为180°。

使用数学软件模拟事物的变化，引起学生的兴趣与积极性，并大大降低了原本数学问题探究上的难度，更重要的是，让学生在事前获得相关知识的情感体验，先学后教，进一步发展学生的归纳思维和推理思维，符合本班学生的认知实际

2、环节2中，在1的基础上连OB和OC，观察圆心角∠BOC和∠A，，观察两角的度数变化①通过点A运动改变∠A的位置，但所对的弧不变;②点A的位置始终不变，改变弧BC的大小，观察两角之间的大小关系，最后从中获取若干组數据进行对比归纳，学生从中学习科学研究事物变化的方法，猜想归纳，数学能力得到发展，更轻松的理解圆周角定理。

由上可以感受到老师对教材不再是照搬，而是根据学生知识的生成进行了改造与整合，打破了先有定理再有推论的一贯教学。

在本课中，教师使用数学软件《几何画板》中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，在演示中，教师进行了如下操作①圆周角的顶点在圆周上运动②改变弧的大小③改变圆的大小，不仅让学生获得最直接的观察思考，还从更广泛的角度去验证学生的猜想，帮助学生更好地理解圆周角定理及相关推论，针对该班学生基础较薄弱的实际，借助《几何画板》让孩子更直观的理解图形的生成，不仅方便而且科学严谨，具有充分的说服力。