培养抽象能力 提升数学核心素养

潘艳

[摘   要]抽象能力是数学核心素养的重要组成部分，培养学生抽象能力具有现实意义.

[关键词]抽象能力;核心素养;数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）20-0025-02

抽象性是数学学科的基本特征之一，数学的抽象过程对发展人的思维能力，特别是理性思维能力起到重要作用.抽象能力可以帮助学生回归概念和原理，突出强调概念和关系的重要性;可以使学生专注于课本概念，全面发展理性思维;可以帮助学生进行拓展，在实际应用中锻炼自己的思维逻辑.

一、分析变量，确定取值范围

抽象思维要求学生准确把握各个元素之间的关系.“变量”与“定量”问题是数学关系中的常见问题，“变量”和“定量”的关系通常蕴含在公式算法中，互为相关性，且“变量”和“定量”没有明确的界限，可以相互转化.只有明确了“变量”和“定量”的关系，学生才能从逻辑思维的角度出发准确地判断出“变量”或“定量”的取值范围，从而得出正确的计算结果.

例如，在教学《弧长和扇形面积》的过程中，学生需要重点掌握公式“[1°=nπR180°]”，为方便学生理解、利用这个公式，我从“变量”和“定量”的角度出发，设计了一个教学案例：“计算10米长的下水道（半径R = 5 m）水深2米时所占管道的弧长.”在这个问题中，由水位的高低能间接计算出水面所占圆弧的弦的长度，也就是水面的宽度，即“水深”就是公式中的变量.考虑到这个问题以后，学生就能确定“变量”与“定量”的值，然后利用公式逐步计算出水面所占圆弧的角度n的值，最后根据本章的公式，逐步计算出弧长.这个问题很贴合实际，难点在于学生需要把水面的横截面与扇形联系起来，通过直角三角形的运算，得出角度.要在画出正确的草图和辅助线的前提下进行运算.

通过对常见问题的解决，学生能够更深刻地了解到公式算法的基本步骤.在进行练习的过程中，学生可以发挥自己的联想与想象能力，锻炼自己的抽象能力，把抽象的事物在脑海中转化成具体客观的实物，从而调动自己的知识储备，对题目进行剖析.确定“变量”的取值范围是解题过程中关键的一步.

二、图像转化，加强数形结合

几何问题重点是图像和数字的结合.这就要求学生在观察图像的同时，把所学知识利用起来，分析图像的内涵，把数字代入图像，挖掘出题干的隐藏信息.学生还可以把抽象的图像或者是生活中的例子与数学知识串联起来，用数字和线条把这些图像具体化，然后进行具体的运算和判断.

例如，在《二次函数的图像与性质》教学中，我发现学生掌握概念之后，根据图像进行实际运算的效果比较差，于是我展开了一次专题训练.在二次函数的一般式[y=ax2+bx+c]中，a、b、c是三个“变量”.在进行实际运算之前，学生需要了解这三个变量对于函数图像和取值的意义.“a > 0”图像的开口向上，反之，则开口向下;对称轴[-b2a] > 0，则函数对称轴位于y轴右侧，反之，则位于y轴左侧.以题目“函数[y=ax2+bx+c]的图像与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（1，0）、C（3，0）两点，问x = -1时，y是否大于0？”为例，在这道题目中，该函数与y轴交于点A（0，2），即c = 2，对称轴为x = 2，即[-b2a] =2，然后把三个点代入方程式，我们就可以求得该函数的解析式.根据我们分析的结果，对称轴位于y轴右侧，且a > 0，即当x < 2时，函数逐渐降低;x > 0时，函数逐渐上升，然后把-1代入方程式中，求得y值大于0.

在二次函数中，图像占到很大比例.学生只有掌握了图形的运算技巧，充分考虑到图像的逻辑性以及各个变量的相互关系，才能更好地掌握数形结合的要旨，从而更好地进行二次函数的数学运算.数形结合的考查方式，不仅锻炼了学生的逻辑思维，考验学生的独立思考能力，也使学生能够充分地发挥联想和想象，从理性思维的角度出发，进行抽象能力的培养.

三、联系生活，把握结构关系

数学元素结构关系的把握往往需要从实际生活出发.几何问题也是生活中常见的问题. 其中，三角函数在生活中的应用相当广泛.学生需要抽象能力来理解题目的含义，把抽象的事物具体化，挖掘题目的内涵，并把获得的信息用数字和线条表示出来，然后进行具体的数学运算.

例如，在《锐角三角函数》这一节的“阅读与思考”这个版块中，学生不仅需要掌握正弦值和余弦值的定义，还要掌握一些常见的三角函数值.如“[sin30°=cos60°=12]，[cos30°=sin60°=32]，[sin45°=cos45°=22]”.但是我发现在实际问题中，往往需要学生自己绘制模式图，对角度描述进行具体分析.如北偏东60°、南偏西45°等都是在实际问题中会遇到的方向表述术语，学生仍需要在实际问题中根据实际情况进行分析.如，经典的高度问题：“在A点测得建筑物CD的仰角为60°，B点测得建筑物CD的仰角为45°，已知AC = 60 m，AB = 20 m，求建筑物CD的高度.”根据题目，我们可以得出一个等量关系：AC-BC=AB，即CDcos60°- CDcos45° = AB.有的学生把建筑物CD的高度设成x，就可以得到[12x-22x=20]，然后就可以得出建筑物CD的高度.学生需要把握的关键点是三角形ACD和三角形ABD共用CD这条边，然后根据题目的信息进行图像和数字的转化，利用三角函数得出等量关系.

利用数学知识来解决实际生活中的问题，不仅能够帮助学生理解所学的知识，还可以发展学生的数学思维.学生根据题目进行抽象的同时，还要准确地把握题目的要点.对于三角函数这类问题的思考，既可以帮助学生熟练运用正弦值和余弦值的定义，还可以帮助学生了解更多的生活常识.

四、类比联想，拓展思维空间

类比与联想，需要学生有较好的空间想象能力.类比联想在几何问题中的应用十分广泛.比如，三角形定义中的相似三角形和全等三角形，需要学生具备一定的抽象能力，以三角形的概念和定义为尺度来看待问题.只有学生具备了一定的抽象能力，才能用最简洁的语言对几何问题进行推断和证明.

例如，在《投影和视图》教学中，学生需要掌握三视图和投影问题的部分计算知识.但是在学习过程中，我发现一些学生对于投影问题的理解有一些疑惑，于是我开展了一次讲座，主要给学生讲解一些投影问题的解题方法.以题目“圆桌正上方的灯泡发出的光线照射到桌面后，在地面上形成圆形阴影，已知灯泡距离地面2.4 m，桌面距离地面0.8 m（桌面厚度不计），若桌面面积为1.2 m2，则地面上阴影的面积为多少？”為例，在题目中，我们发现阴影部分的面积可以通过灯泡、桌面与地面的高度比例计算出来.如果把画面转化成一个平面图形，实际上就是相似三角形求比例的问题.但是在结果计算上要注意面积之比是底面半径之比的平方.按照比例，学生能够求出一个面积，那么这个面积就是地面阴影的面积，这样问题也就迎刃而解了.

学生具备一定的空间想象能力对于解决几何问题具有重要意义.相似三角形在几何问题中的迁移范围很大，除了投影问题中会有所涉及，在证明问题中也十分常见.学生只有掌握了一定的联想与想象能力，才能对题目进行抽象，进一步进行推理和证明，才能游刃有余地解决几何问题.

抽象能力的培养对于发展学生理性思维，拓展学生思维空间有很重要的作用.学生只有具备一定的抽象能力，才能更好地学习数学，才能有效提升自身的数学核心素养.

（责任编辑 黄桂坚）