例谈含参一元二次不等式的解法

吴高峰

摘 要 含参一元二次不等式的求解在高中阶段是非常重要的内容，在很多函数讨论题目中通常都需要转化为二次不等式求解。在导函数题目中更为常见。而解含参数的一元二次不等式均需分类讨论，对此文章进行了分析讨论。

关键词 一元二次不等式;函数讨论;解法

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）05-0188-01

含参一元二次不等式的求解在高中阶段是非常重要的内容，在很多函数讨论题目中通常都需要转化为二次不等式求解。在导函数题目中更为常见。而解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？

对含参一元二次不等式通常分两大类：二次项系数含参和二次项系数不含参，每一类别中可以分两类。所以通常可以分四类求解。

第一类：二次项系数含参且不能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

讨论方法：先讨论二次项系数，然后讨论，通常要综合和给出参数范围。

例1：解不等式：

分析：本题中由于的系数大于大小不确定，也是不可以因式分解的。。时，时，时。所以在讨论的时候应该以，，，，来讨论.

解：当时，，解集为R

当时，，解集为

当时，，解集为，即

当时，不等式为，解集为

当时，，解集为，即

练习1：解不等式

第二类：二次项系数含参且能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

讨论方法：先讨论二次项系数，然后讨论根的大小，通常要综合和根的大小来给出参数范围。

例2：解不等式：

分析：本题中由于的系数大于大小不确定，但能因式分解。即，两根分别是：和，当或时，当时.当时，。

解：原不等式等价于：

当时，，解集为

当时，不等式为，解集为

当时，，解集为

当时，，解集为

当时，，解集为

练习2：解不等式

第三类：二次项系数不含参且不能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

讨论方法：讨论

例3：解不等式：

分析：本题中由于的系数确定，但不能因式分解。，时，时，时

解：

当或时，，解集为

当时，不等式为

当时，不等式为，

练习3：解不等式

第四类：二次项系数不含参且能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

讨论方法：讨论根的大小即可

例4：解不等式

分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题

只需讨论两根的大小即可。

解：

原不等式可化为：，令，可得：

∴当或时，，故原不等式的解集為;

当或，，可得其解集为

当或时，，解集为

练习4：解不等式

上面给出了含参二次不等式的一般解法，在实际解题中，要结合二次函数图像来练习。这样才能真正体会每一类别的异同点，做起题来才能做到游刃有余。