通过问题设计助推学生思维发展——以《解决问题的策略—— 一一列举》教学为例

陈颖洁

深度思维的课堂，应以问题解决为中心，充满思维碰撞式对话，生成精彩的结论。由此可见，问题设计质量的优劣直接决定着教学的成功与否，教师一定要高度重视问题设计，并围绕问题展开课堂，为学生与文本对话、生生对话、师生对话搭建平台。下面，笔者就以苏教版小学数学五年级上册《解决问题的策略——一一列举》第二课时教学为例，谈谈如何通过问题设计助推学生思维发展，构建深度思维的数学课堂。

一、优质的问题设计，体现思维的有序

1.定起点——简单列举做到有序。

我们在课堂上遇到的数学问题，很多都可以列出算式，然后求出结果。但是也有一些问题，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

先对《解决问题的策略——一一列举》单元进行文本分析。

本单元中的第一课时完成例题1 及相关练习的学习。

例题1：王大叔用22 根1 米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？

例题1 侧重感知列举的基本思考过程和方法，初步积累解决问题的方法。

第二课时完成例题2 及相关练习的学习。

例题2：南山小学举行小学生足球赛，有4 支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？

例题2 侧重感知列举的策略特点，提高运用能力，增强条理性和严密性。在列举时，要做到不重复、不遗漏，关键要做到有序地思考，必要时可以先分类再列举。在列举出所有的情况后，更需要根据实际情况做出判断和筛选。

对学生的学情分析：本单元教学用“一一列举”的策略解决一些简单的实际问题。在此之前，学生已经学习过用列表整理的策略解决问题，对策略运用的价值已经有了一些初步的体验和认识。学习这一部分知识的重点是培养学生的有序思维，对于“有序”，在以前的学习和生活中学生的体验是相当深刻的，早在一年级学习10 以内数的分与合的过程中就已经有了初步体会。随着教学的深入，这样的体验越来越充分。这样的经验积累，有助于学生自觉地调用经验来学习、体会和应用一一列举这一策略。

教师应该如何设计优质问题呢？

教材中的例题2，最重要的学习目标就是经历用一一列举策略解决实际问题的过程，能不遗漏、不重复地列举出符合要求的所有答案。简单来说，就是在学生学习过程中要认识到解决问题的策略是什么？为什么要有序？怎样有序？教师要发掘学习问题，将知识点以问题的形式呈现在学生面前：

（1）例题2 要用什么方法解决？

（2）应按照怎样的顺序进行列举？

（3）是否列举出所有场次的比赛？

以上三个问题是这样让学生的思维有序展开的：

首先，由于找不到计算例题2 的算式，我们可以将满足题目要求的对象一个一个列举出来。就是确定解决例题2 的方法是“一一列举”的策略。

其次，定起点，我们可以让列举做到有效。一一列举的核心思想是有序，也就是按照一定的顺序进行列举，这样才能保证列举不出现重复和遗漏。确定起点是做到有序的关键一步，就是先要想好从哪里开始，然后按照一定顺序列举。从红队开始，与黄队、绿队、蓝队分别比赛一场，一共3 场比赛；再从黄队开始比，黄队与红队已经赛过一场不用再比，与绿队、蓝队再赛2 场；同样再从绿队开始比，还有蓝队1 场比赛。

呈现的方式可以是列表，也可以是画图。

图1

最后，是否列举出所有场次的比赛了呢？在列举中，有些情况是不符合要求的：红队与其他三支球队各比赛一场，就有3 场比赛；一共有4 支球队，每支球队与其他三支球队各比赛一场，一共要进行4×3=12 场比赛。这与题目中的“每两支球队比赛一场”就不符了，红队与黄队比赛一场，就是黄队与红队也比赛了一场。因此，12 场比赛中每两支球队都多算了一场比赛，所以所得结果还要除以2，即4×3÷2=6 场比赛。在列举出所有的情况后，需要根据实际情况做出判断和筛选。

2.先分类——复杂列举做到有序。

遇到较复杂的问题时，对可能出现的情况要先进行分类，再一一列举，学生缺乏类似的体验，有的学生是凭感觉，有的学生对组合后出现的重复情况也没有足够的敏感，对不重复的意义停留在表面而不会关注结果的重复，因此需要用优质的问题给学生方法上的指导。

教材课后练习十七第6 题：一张靶纸共三圈，投中内圈得10 环，投中中圈得8 环，投中外圈得6 环。小华投中1 次，可能得多少环？投中2 次呢？

小华投中1 次，可能得到的环数是10 环、8 环或者6 环。投中1 次的简单列举，不再赘述。

投中2 次，教师要用问题对学生的学习方法进行指导：你能自己给投中2 次的不同情况分分类，并列举出所有的可能性吗？

图2

小华投中2 次，可能得到的环数是20 环、16环、12 环、18 环或者14 环。

这个课后练习有没有被学生掌握呢？我们可以把条件投中了2 次，修改成“投了2 次”。分成：都不中、中一次、中二次。前面两个问题比较简单，最后一次情况较复杂，需要我们像刚才那样先分类后再列举……这个练习题目让学生在最近发展区内进行思维的升华，需要多次分类后才能完成。教师用优质的问题将学习目标转化，用问题来促进学生思维的有序分类。

都不中：0 环。

中一次：6+0（0+6）共6 环，8+0（0+8）共8 环，10+0（0+10）共10 环。

中二次：同上图2。

当问题比较复杂，需要先分类再列举时，要注意的是分类一定要想清楚共有几种不同的类别，并且类与类之间不重叠。每一类列举时要包括所有可能的结果，这样才能做到不重复、不遗漏。而且分类的标准有很多种，我们还要按照一定的顺序来分类。并且列举完成后，要回头检验，去伪存真。

二、建立数学模型，让问题设计有过程

1．一一列举就是数学建模。

一一列举就是数学建模，是建立数学模型用于解决现实问题的全过程，包括表达、求解、解释、检验等基本过程。通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事；数学建模就是用数学讲述生活故事的过程。数学模型思想，是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，也就是让数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的联系桥梁的思想。在数学教学中,渗透数学模型思想，就是针对抽象的数学概念和命题，利用学生可以理解的形象、直观、具体的实例来说明，通过实例来帮助学生理解抽象的数学内容。在小学数学中,通过一个典型问题的解决，带动相关问题的解决，由一个到一类，渗透种数学规律的思想，就可以叫做模型思想。

一一列举策略的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多看似没有头绪、解决不了的问题；我们还可以用一一列举的策略来发现事物的特征和规律，然后根据这些发现来“建立模型”，进而解决一系列问题。

教材中的“练一练”：小强、小华和小丽是好朋友。如果他们每两人之间通一次电话，一共要通多少次电话？如果他们之间互相寄一张节日贺卡，一共要寄多少张贺卡？

建立模型的问题设计：互相寄一张节日贺卡与打电话的解决方法一样吗？

小强给小华打电话，小强跟小华通话的同时小华跟小强也通了话，所以通电话是没有方向性的。只要打3 次电话就可以满足每两人之间通一次电话。而互寄贺卡时，当小强寄给小华时，这张贺卡最后是属于小华的，小强没有拿到贺卡，所以贺卡是有方向性的，要小华寄给小强，小强才能拿到贺卡。因此3个人每人要收到另外两位同学的贺卡，总共要寄6次。（见图3）

图3

在许多列举的过程中，像刚才“练一练”这一类题型，有些是有方向的，比如寄贺卡、数字的排列，我们要考虑两种不同的情况；有些是没有方向的，比如通电话、每两支球队比赛一场等，一个与另一个在进行的时候，反过来另一个与之也在进行同样的事项。建立模型的问题使课堂提问有了思维的过程。

2.用规律模型，使思维前后融通。

刚才的例题2“定起点”，使列举做到有效。这时才4 个球队，在画图、列表的方法下，我们可以快速地解决“每两支球队比赛一场”共比赛几场的问题。如果是40 支、400 支球队，这样的方法就不合适了。我们必须边列举、边找规律，不必把所有的情况都列举出来，可以根据前面所找到的规律来列式解答。

建立模型的问题设计：第一支球队要与其他球队比赛多少场？

如果有4 支球队，那么第一支球队要与其他三支球队比赛，一共要比3 场；第二支球队比赛2场、第三支球队比赛1 场。算式就是3+2+1。如果有40 支球队，那么第一支球队要与其他39 支球队比赛39 场，根据等差数列就是39+38+37+……2+1=（39+1）×39÷2=780（场）。

像上面这样的球队比赛、通电话的次数是没有方向性的，一共有n 个球队，第一个球队与其他球队要进行（n-1）场比赛；一个球队与另一个球队进行比赛时，后者与前者也在进行比赛，所以多算了一次，就要除以2。即n 个球队，每两个球队比赛一场，一共要进行n×（n-1）÷2 场比赛。

像寄贺卡、排数字等这种有方向性的，即前者与后者的组合和后者与前者的组合结果不同时，所得结果不需要除以2。比如30 个同学互相寄一张贺卡，一共要寄多少张贺卡呢？第一个同学要寄给其他29 个同学，30 个人每人都是寄出29 张，所以一共要寄30×29=870（张）。即n 个同学互相寄一张贺卡，一共要寄n×（n-1）张。

碰到数据比较大的一一列举的实际问题，我们可以先用比较小的数据来举例，然后边举例、边找规律，不必、也没有可能把大数据一一列举。这时我们就可以用小数据所找到的规律模型，使思维前后融通。在这中间，找准体现规律的模型问题很重要。因为这个关键性的问题为确立模型、找到相应的规律，阐述了详细的过程，由点及面、由少到多地完整体现了思维的过程。

教师的责任是点燃学生的思维火把, 而不是浇灭学生的思维火花。教师要善于利用问题，让学生最大限度地产出成果而不是复原结论。所以，优质问题是教学目标的转化,是教学内容的提炼,是学习评价的依据。优质问题设计的基本特征应该是“在学生最近发展区内,引发认知冲突,激发思维碰撞”。

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