课本惹“祸”了吗

王耀文

1 问题展示

这是我校高二一次月考的第18题，题目很简单，但阅完卷后，老师感到很惊讶，平均分只有1.3分（满分12分）. 到底是怎么回事呢？从阅卷老师反馈的信息来看，问题主要出现在如何理解命题p：“方程x2-4mx+1=0有两个正根”成立，大多数学生认为判别式Δ>0，但参考答案认为应该是Δ≥0.我和备课组老师交流的情况也是这样，大家都认为应该是Δ≥0，这是经验，以前也都这么认为.我调查了我班（学校实验班）学生的答题情况，大多数学生也认为是前者，他们也是这么做的，而且理由似乎很充足，因为最近所学内容正好强调了这种说法.比如椭圆、双曲线的定义.

无独有偶，高考也出现了这样的问题，比如这道高考题中的A，B两点，从高考参考答案和相关杂志解答可以看出，命题者和大多数老师、学生的想法应该一致，认为A，B是不同两点[4].

4 师生困惑

在代数问题中，比如一元二次方程有两个根，包括有两个相等根和两个不等根;在几何问题中，比如直线和曲线有两个交点是说有两个不同交点，还是交点可能重合？还是要揣测命题老师的意图呢？我们应该怎么办？

5 问题解决

上述问题到底怎么解决呢？

兩个正根是否可以相同呢？两个交点是否可以重合呢？还是像课本必修1对代数和几何采取不同的办法呢？老师和学生很困惑.

笔者针对此类问题，在此提出几点建议：

第三，当然最好的做法是课本能明确这些说法，比如交于A，B两点（含A，B重合）;如果不重合，就称作交于A，B不同两点.现在遇到这些问题时，老师往往凭直觉或凭经验，有时感觉也很迷茫.因此建议教材编写者或相关专家能够重视这些看似简单但也确实困扰我们老师学生的问题.

课本作为老师和学生第一参考资料，如果能对此类说法进行规范和明确，将对此类问题的解决提供很大帮助.例如当称交于A，B两点时，A，B重合情况包含在内;如果不重合，就称作交于A，B不同两点.在此建议除了学生细心审题，发掘题目所含条件之外，也希望对可能出现歧义的某些说法进行规范和明确.这样也将对老师和学生对题目的正确理解提供帮助.

参考文献

[1] 人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书（A版）·数学（选修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书（A版）·数学教师教学用书（选修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3] 人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书（A版）·数学（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4] 何卓，何昌俊等.2018年高考试题创新解法赏析[J].中学数学教学参考，2018（7）：46（上旬）.