广开联想铸就“自然”思路*——构图求tan15°的值的智能价值与智慧分享

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

“从帽子里跑出一只兔子”是波利亚对玄妙思路高蹈出现的经典论断，的确，平时教学中，为何老师一讲再讲，学生面对生疏问题时仍不得思路，总有一种“望尽天涯路”的窘觉？其实是我们平日的教学出了问题.奇招、妙招甚至怪招，或有简洁之美，或具新奇之美，或蕴抽象之美，甚或让人拍案叫绝，但学生拍案后除了惊慕老师的高明，面对新的问题仍逃脱不了“望题兴叹”的困厄.殊不知，我们的教学丢却了最基本的常识：本源性的思路是否被关注？我们的引导有没有越位的问题？是否真正有效？基本想法是否被关注？等等.面对问题，引导学生关注条件、结论，形成基于个人数学现实的相关联想，思路往往就出现了，一味求简或许会蒙蔽学生的常规想法，平民化的思路或许看似有点儿拙，但合民意、入民心.

基于条件，引导学生展开广泛联想，让这种想成为学生面对问题的习惯意识，看似玄妙的思路也就自然而然了，贴近个体学生的“最近发展区”，让思路顺畅、自然，让学生感觉到这个思路是他们应该想到的，长此以往，学生就会慢慢触摸到“想”带来的收益，成为解决问题的策略性行为，这种习惯性的自我监控就会促使自己广开思路，方法登录学生的大脑平台就会成为实然.本文集中呈现学生的各种思路，较好地诠释了以上论断，希望能引起共鸣.

题目：试构图确定tan15°的值.

一、教学说明

对于初中学段的学生而言，直接获得tan15°的值是不好办的，但可以通过构图去尝试完成.其中“几何直观”发挥着引领之用，可以说这是指向数学学科核心素养的教学尝试.若通过锐角三角函数的学习，能认识到它的本质就是线段比的话，由“数”想“形”去构图应该是自然的、常态的.因此，这一问题也是对学生概念理解的一次考量.教学前，笔者提前一天把问题布置下去，要求至少找到3种求值方法.事实上学生课余共研究出了8种方法，有6种方法是在这8种方法的基础上、思路的启迪下在课堂上现场生成的，其中有教师的补缺性引导，有学生纵横驰骋的类比联想.本文对学生在课堂上集中呈现的解法做了一个简单的梳理，并在结课阶段，通过学生的亲历求解或倾听他人的求解，集体评选出了相对优化的方法：法1、法12、法14.其原因是：图形构造直观明了、计算量小.为了让个性的想法产生迁移力，为了汲取别人优化的方法，特留如下作业：（1）把自己的方法梳理清楚，能优化的优化，把自己的想法沉淀下来；（2）借鉴其他同学至少2种自己感觉可接受的好方法，研究学习并整理.

二、方法呈现

思路1：基于30°=15°+15°引发联想，构造等腰三角形顶角相邻外角与两底角的关系.

法1：如图1，画一个含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD，则有∠D=15°，则DB=AB=2.

图1

思路2：基于的角度引发联想，构造角平分线.

如图2，画一个含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.

法2：如图2，作∠ABC的平分线，交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.

图2

BD平分∠ABC，且CD⊥BC，DE⊥AB，则CD=DE.

令CD=DE=x，由S△ABD=，得.则CD=DE=x=，则tan15°==.

法3：如图3，作∠ABC的平分线，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E.

图3

由BD 平 分∠ABC，得∠ABD=∠DBC=15°.

由DE∥AB，得∠ABC=∠DEC=30°，∠EDB=∠ABD=15°，则∠BDE=∠DBC=15°，则DE=BE，至此，就变成了图1所示的模型，以下略.

法4：如图4，过点A作AE∥BC，交∠ABC的平分线的延长线于点E.

图4

由BE平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD.

由AE∥BC，得∠E=∠CBD，则∠E=∠ABE，则AE=AB.

由∠ADE=∠CBD，且∠E=∠CBD，得△ADE△CDB，则，即.令CD=x，则=，则.

思路3：基于15°=45°-30°=60°-45°=90°-75°引发联想，构造小直角三角形.

法5：（用60°-45°=15°）如图5，画一个含60°的Rt △ABC，使∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，在BC上取点D，使得CD=AC，过点D作DE⊥AB，交AB于点E.

由AC=CD=1，得∠CAD=∠CDA=45°，则∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°.

令DE=x.

图5

法6：（用45°-30°=15°）如图6，画等腰直角△ABC，AC=BC=1，作∠CAD=30°，过点D作DE⊥AB，交AB于点E.

由△ABC是等腰直角三角形，得∠CAB=∠CBA=45°，则∠DAB=∠CAB-∠CAD=15°.

图6

思路4：基于一副三角板中的特殊角引发联想，摆拼出75°，进而得到15°（90°-75°=15°）.

图7

法7：如图7，一副三角板一边（BC）叠放，DB=1，CD=2，CB=AC=，∠ACO=∠ACB -∠DCB=90°-30°=60°.过点A作AH ⊥CO，则∠CAH=30°，则∠OAH=∠CAB-∠CAH=15°.

法8：如图8，一副三角板拼在一起（AC为重叠边），CD=，∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+45°=75°.过点D作DH⊥AB，则.

图8

图9

法9：如图9，一副三角板拼在一起（BC为重叠边），∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+45°=105°.

过点D作DH垂直于AB的延长线于点H，则∠HBD=75°，则∠BDH=15°.

思路5：基于单个三角板的特殊角引发联想，构造出75°，进而得到15°（90°-75°=15°）.

法10：如图10，在含30°角的一副三角板的直角顶点处作∠DCB=75°，则∠CDB=45°，这样问题就转化成了法8，以下略.

法11：如图11，在含45°角的一副三角板的直角顶点处作∠DCB=75°，则∠CDB=60°，这样问题同样转化成了法8，以下略.

图10

图11

思路6：基于底角为75°的等腰三角形引发联想，构造腰上的高直接呈现15°（90°-75°=15°）.

法12：如图12，是底角为75°的等腰△ABC.

过点B作BH⊥AC于点H，则∠HBC=15°.

图12

图13

图14

法13：如图13，画一个锐角为30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交AB于点D，则△ACD即为底角为75°的等腰三角形，这样就转化成了法12，以下略.

法14：如图14，画一个锐角为30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交BC的延长线于点D，则△BAD即为底角为75°的等腰三角形，这样同样转化成了法12，以下略.

说明：法14和13同出一辙，就是半径的差异而已.再进一步说，法12、13、14也是统一的，最终都落脚于法12.

三、教后反思

1.以数为基，广泛联想

从运算的角度展开对15°的联想，然后就是如何把15°构造出来的问题，本身就是数形结合的一种体现，可见其数学思想方法的不菲作用.30=15+15，15=×30，15=45-30=60-45=75-60=90-75等各种形式、种种联想促成了以上缤纷多彩的思路（纵然有些思路有诸多思维回路，可以优化，有些图形过于复杂，可以简化，但几何直观下各类构图的思路及广泛联想的意识是很有价值的），恰似著名数学家谷超豪所言“解题岂一法，寻思求百通”.贯通的思路源于广泛的联想，没有“想”，知识就是知识，止步于认知层面，不能很好地转化为解题的生产力，也就不能转知成识，而成为解题的智慧.

通观上面一系列的方法不难看出，解决此题的关键在于在已知特殊直角三角形（一副三角板）或特殊的等腰三角形及它们的组合中，添线构造出含15°角的直角三角形，而这个“15°”来路颇多，然后，借助特殊直角三角形的边角关系、边边关系和三角形的面积公式、角平分线性质定理、相似等初中几何的核心知识，求出15°的正切值，是一次运算与思维的大演练.我们知道，添辅助线一般具有隐性条件显性化、分散条件集中化的作用，而本题的构图解决，除了这些作用，还让我们触摸到了在“基地图形”上构造解题所需要的新图形的妙处，充分发挥了基本图形的模型作用.

2.优化思维与历练思维

在考场上面对一个问题，自然不需要也不必寻求多解，若一个问题有诸多思路，需要对每一个思路进行甄别，选择出最经济实惠的思路，以赢取中考的胜利.但作为平时的训练题目，我们不妨抛开优化的定位，在学生的“最近发展区”引导学生从自己的基本想法出发构筑自己的“自然”思路，并交流各自的自然思路，成果共享、相互促进，反复历练学生的多向思维，调度“四基”，在应用中熔炼，既巩固了核心知识，又形成了贴近自己的自然思路，同时深化了思维，多思多得，其智能价值会更高.纵然有些方法与优化的方法相比显得笨拙，但由于是出自个人的思维方向，其实效性更强.如果我们研究问题仅定位于智慧的方法、脱俗的方法，往往会吓倒一批人，成为优生展示才艺的集中营，对每一名学生而言并非福音.因此，优化思维是思维品质深刻性的提升，但一些基本想法纵然显拙但接地气，对历练大众思维作用不菲，二者不可偏废，拿捏它们之间的平衡当属应然.“解题研究无禁区，考场应试要优化”，要取得考场上的优化思路，就需要平时厚实的积累，平时发散思维的历练，否则到了考场上拍脑门是拍不出来优化的方法的，此即为“博观而约取，厚积而薄发”吧！

3.“习惯”成“自然”

想法，想法，有了“想”才有“法”，因此说让会“想”成为习惯，也就是知道怎样去思考，那学生面对生疏的问题时往往就会打开思路，就有了解决疑难问题的门道.数学的本色是思考，史宁中教授有句经典：“和学生一起思考”.笔者的理解是，面对新问题时，老师要和学生一起“零起点”思考，若老师已经知晓，需要稚化自己的思维退到原点去，若不知晓，就和学生一起左思右想、上下求索，那老师面对问题的思考路径就显现出来了，而这个显现才便于学生的学得来，让学生触摸到老师解题时的磕磕绊绊、左冲右突、而后突围的真实全景，而不是把自己美化后的思路、加工处理后的思路高高在上地传递给学生，那样除了让学生惊慕老师的高明以外，还能学到什么！所以，史宁中校长甚至认为，学数学不用笔不用纸，用脑袋想就能想出来.当然这句话从字面看有点儿过了，但其从侧面折射出了“想”成为习惯的重要性.基于这些认识，笔者不断引导学生积极思考，用身体力行来唤起学生的思考欲，久而久之，思考就会沉淀成学生的习惯，那再面对疑难问题时就有了解决问题的“道”.让学生的思考习惯成为自然，那么我们的数学教学就走向成功了.