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关于Jordan标准形的教学探讨

2019-08-11谢凤艳

大学教育 2019年8期
关键词:角化特征向量特征值

谢凤艳

[摘 要]Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵. 结合教学实践,从教学过程中强化Jordan标准形矩阵是对角矩阵的推广和延伸,通过典型例题讲解,融入Matlab软件,强调应用四个方面对Jordan标准形的教学进行探讨,旨在加深学生对Jordan标准形的认识.

[关键词]方阵;Jordan块;Jordan标准形;Matlab Square matrix;Jordan block

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2019)08-0108-03

高等代数是学习更一般的代数系统乃至整个数学的基础,它涉及的内容对近代科学技术和数学的任何其它分支非常有用. 矩阵是解决高等代数问题的一个非常有力的工具.它在计算机三维动画制作、电路图、交通流、统计分析、数值分析等领域有着非常广泛的应用.Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵.在全国数学专业硕士研究生入学考试中,华中师范大学、华东师范大学、陕西师范大学、厦门大学、郑州大学等大学多次都涉及到对Jordan标准形的考查. 然而随着高等学校各个专业基础理论课时的减少,数学专业基础课时也大为缩减.很多高校数学专业高等代数课时由以前的周课时六减为周课时四. 不少高校的数学专业把高等代数中“[λ]-矩阵”、“双线性函数”等相关内容作为选修内容,不再作为考试大纲进行课堂讲解. 而很多高等代数教材对Jordan标准形尤其对如何找一个可逆矩阵,将一方阵化成Jordan标准形缺乏系统讨论.由于Jordan标准形矩阵的重要性并且学生对这部分知识自学起来比较吃力,因此教师应尽可能的抽出时间对Jordan标准形相关知识进行讲解。为了深化学生对Jordan标准形的认识,本文结合多年来教育教学实践从以下四个方面对Jordan标准形进行教学探讨.

一、教学过程中强化Jordan标准形矩阵是对角化的推广和延伸

设[A]为[n]级方阵. 是否存在一个形式较为简单的矩阵[B]使得矩阵[A]与矩阵[B]有很多相似的性质,比如相同行列式的值,相同的秩,特征值相等.我们知道,如果矩阵[A]有[n]个线性无关的特征向量,那么矩阵[A]与一个对角矩阵[B]相似,并且[B]对角线上的元素为矩阵[A]的[n]个特征值, 重根按重数计算[[1]].然而可对角化的矩阵毕竟是少数的,于是Jordan矩阵诞生了.对于任意[n]级方阵都与一个Jordan矩阵是相似的[[1]]. 而对角矩阵是Jordan矩阵的特殊情况,即若当块为一阶时的Jordan矩阵. Jordan矩阵是“几乎”对角化矩阵.

当[A]可对角化时,设[P=(p1,p2,...,pn)]使得[P-1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)].则[Api=λipi]且[(λiE-A)pi=0].即[pi]为[A]的属于特征值[λi]的特征向量.

当[A]不可对角化时,设[P=(p1,p2,...,pn)]使得[P-1AP=J].不妨设[J]为[n]级若当块,即

[J=λ1λ1?1λ].

则[Ap1=λp1],[Api=λpi+pi-1]([i=2,3,...,n])且 [(λE-A)i-1pi-1=0].称[pi]为[A]的属于特征值[λ]的广义特征向量[[2]].

Jordan标准形教学过程中要复习巩固矩阵对角化的相关知识,并强化Jordan矩阵是对角矩阵的推广,Jordan标准形是对角化的延伸及完善.教学过程中教师要按照循序渐进、螺旋上升的教学原则,在教学过程中注重新旧知识的衔接,以便学生克服陌生恐惧的心理. Jordan标准形教学过程中复习巩固矩阵对角化的相关知识,看似比单纯讲解Jordan标准形多花了时间,但却能起到事半功倍的效果,不仅有利于学生对新知识点的掌握,而且能够使学生做到知识点的融会贯通.

二、 教学过程中通过典型例题讲解,加深学生对抽象理论知识的认识

抽象性是高等代数一个重要特点[[3]].通过数学例题讲解可以有助于学生对抽象数学知识的理解,深化和巩固学生对数学基本概念和主要定理的认识. Jordan标准形中涉及到行列式计算、线性方程组求解、矩阵运算等相关知识,而教材太过于偏重理论知识讲解,选用例题较少.学生学习这部分知识颇感吃力.因此在Jordan标准形教学的过程中要精选例题并加强对例题的讲解.

(一) 可对角化矩阵Jordan标准化的实例

例1 設矩阵[A=122212221],求可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形.

解 由[φA(λ)=|λE-A|=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2λ-1=(λ+1)2(λ-5)],得[A]的特征值为-1、5.

解齐次线性方程组[(-E-A)x=0]得到对应-1的两个线性无关特征向量:

[p1=(1,0,-1)T,p2=(0,1,-1)T]

解齐次线性方程组[(5E-A)x=0]得到对应5的一个特征向量:

[p3=(1,1,1)T]

令[P=(p1,p2,p3)],则[P-1AP=J=-1-15].

注:例1可以提前以作业形式布置下来,让学生课后自己完成。课堂上用多媒体课件展示出来即可.

(二)一般方阵Jordan标准化的实例

例2设矩阵[A=-1-26-103-1-14],求可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形.

解 由[φA(λ)=|λE-A|=λ+12-61λ-311λ-4=(λ-1)3,] 得[A]的特征值为1.

因为[r(E-A)=1],所以齐次线性方程组[(E-A)x=0]的一个基础解系中含2个向量.即[Ker(E-A)=2].同理可得[Ker(E-A)2=3].

设[Ker(E-A)]的一组基[{p1,p2}]并把它扩充为[Ker(E-A)2]的一组基[{p1,p2,p3}]并且满足[Ap1=p1,Ap2=p2],[Ap3=p3+p2].则

[A(p1,p2,p3)=(p1,p2,p3)1111],

于是得到[A]的Jordan标准形[J=1111]

下面求解[p1,p2,p3].解齐次线性方程组[(E-A)x=0]得到对应特征值1的两个线性无关特征向量:

[x1=(1,-1,0)T,x2=(3,0,1)T]

令[p1=x1],[p2=c1x1+c2x2](其中常数[c1,c2]的选取使得[p1,p2]线性无关),则[Ap1=p1,Ap2=p2]+[p1].为了使得[Ap3=p3+p2]有解.可得[c1=-c2].令[c1=-c2=-1]

得到非齐次线性方程组[Ax3=x3+p2]的一个特解:[p3=(1,0,0)T]

从而[P=(p1,p2,p3)=121-1-10010],

且[P-1AP=][J=1111].

通过例1学生已经熟练掌握特征值、特征向量及可逆矩阵[P]求解,在此基础上进行例2的讲解.由学生已知对角化的过程及[λE-A]核的求解, 逐步推导出矩阵[A]的Jordan矩阵以及求解可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形的方法.以启发式、引导式原则讲解例2,引导学生积极主动地思考做题的方法,这样不仅使学生对所学到的相关知识点融会贯通,而且加深了对“每个[n]级复数矩阵都与一个Jordan标准形矩阵是相似的”等教材相关结论证明的理解.

对于任意一个不可以对角化的方阵[A]来说,[A]的Jordan矩阵[J]中对应某个特征值[λi]的若当块[J(λi)]的阶数可以通过下列方法求解.

计算

[r1(λi)=r(λiE-A),r2(λi)=r(λiE-A)2,...,rk(λi)=]

[r(λiE-A)k]

直到[λiE-A]某个[k]方幂的秩不再变化,这个[k]就是[λi]的最大子块阶数.设[rt(λi)=rk(λi)(t≥k)],阶数为[l]的子块个数为[bl(λi)].则

[bl(λi)=n-2r1(λi)+r2(λi)             l=1rj+1(λi)-2rj(λi)+rj-1(λi)      l=2,3,...,k.]

例2中求解Jordan矩陣和广义特征向量方法比较简单,但当一个方阵[A]的阶数较高且[A]的某个特征值的重数较大时,用此方法求解广义特征向量从而确定Jordan块的阶数就不太容易了.这就要寻找别的方法. 求解Jordan标准形的方法有很多,比如参考文献[4-7],教师可以从中选择一种或者多种方法课堂中进行讲解,从而加深学生对Jordan标准形的认识.

三、 Jordan标准形教学过程中融入Matlab软件

信息技术是当下高校教育教学必不可少的辅助力量。随着计算机技术的迅猛发展, 将常用的数学软件融入到高等代数教学中已成为一种趋势[[8]].

Matlab是matrix和laboratory两个词的组合, 意为矩阵实验室.它是一款由美国The mathworks公司出品的商业数学软件. MATLAB是一种用于算法开发,数据可视化,数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境.Matlab软件强大的计算功能使得Jordan标准化轻而易举. 比如求一可逆矩阵[P]使得例2中的矩阵[A]满足[P-1AP=J]为Jordan标准形. 在Matlab窗口中输人:

>>A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4];%输入矩阵A

>>[P,J]=Jordan(A) %求可逆矩阵P使得P-1AP为Jordan标准形.

执行命令,出来结果:

注:Jordan矩阵[J]除了Jordan块的排列次序外和例2求解的Jordan矩阵一样. 因为齐次线性方程组的一个基础解系中的向量不唯一,所以可逆矩阵[P]的选取不唯一.

通过系统学习及一系列的练习, 绝大多数学生能够对Jordan标准形求解方法熟练掌握,但由于Jordan标准形中涉及行列式求解、方程组求解、矩阵运算等相关知识,其计算量非常大,稍不留神就会出错, Matlab软件简单容易操作.利用Matlab软件使得矩阵Jordan标准化变得轻而易举,从而提高学生的学习兴趣,获得更好的教学效果. 信息化时代,作为高校教师,应该与时俱进,适当改革传统教学方法将数学软件引入教学,使学生体会到数学学习的时代性,但值得注意的是高等代数作为数学专业的一门基础课程,Matlab在其教学中只能作为辅助教学软件,且不可取代教材知识,成为主要教学工具.

四、 Jordan标准形教学过程中强调应用

学以致用是教学的最终目的.随着科技的发展,矩阵的应用已经在计算机三维动画制作、电路图、交通流、统计分析、数值分析、微分方程等领域有着非常广泛的应用。矩阵理论的发展极大地推动和丰富了其他众多学科的发展. Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵.因此Jordan标准形教学过程中教师应指出Jordan标准形的一些应用,比如:求一个方阵的[k]次幂[[7]]、求解常系数线性微分方程组[[8]]以及对方阵特征值考查[[9]]. 此外借助Matlab软件,让学生解决一些现实生活中的问题,比如系统状态方程[[10]]等.教师可以简单罗列一些应用,然后通过布置作业,分任务的形式让学生分组收集整理相关的一些应用.这样不仅进一步加深了学生对知识的认识而且提高了学生的参与度,还能调动学生学习的积极性,提高学生分析问题、解决问题的能力.

五、结语

Jordan标准形定理在高等代数中有着非常重要的地位。近年来,多种考试中对Jordan标准形的考查也是一个热点问题。鉴于目前高等代数教学的现状,本文结合数学专业本科生教学实践从Jordan标准形教学过程中四个方面:即强化Jordan标准形矩阵是对角矩阵的推广和延伸,典型例题讲解,融入Matlab软件,强调应用对Jordan标准形的教学进行探讨,从学生熟知的对角化问题着手,引入Jordan矩阵,采用启发式、引导式原则展示出Jordan标准形相关知识,旨在加深学生对Jordan标准形的认识,为高等代数的教学提供一些参考价值.

[参考文献]

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2013:342-348.

[2] Bru R, Rodman L, Schneider H. Extensions of Jordan bases for invariant subspaces of a matrix[J].Linear A1gebra App1.1991,150:209-225.

[3] 刘峥嵘. 关于《高等代数》习题课教学的几点体会[J].南昌教育学院学报,2011(2):51-52.

[4] 李尚志.若當标准形的计算[J].大学数学,2006(5):1-10.

[5] 易福侠,王金林.矩阵若当标准化的一种新方法[J].大学数学,2009(3):164-167.

[6] 张长记,江建民.用初等变换法求矩阵的若当标准形[J].河池学院学报,2012(5):51-53.

[7] 冯福存.矩阵的Jordan标准形及其应用[J].绵阳师范学院学报,2016(5):11-15.

[8] 兴友,黄始颖,刘畔畔,高静.MATLAB软件在高等代数教学中的应用初探[J].数学学习与研究,2017(23):10.

[9] 张姗梅,刘耀军.矩阵标准形的应用[J].忻州师范学院学报,2016(2):8-12.

[10] 高芳征,常瑾瑾.矩阵若尔当标准型的标注[J].安阳师范学院学报,2010(2):12-14.

[责任编辑:林志恒]

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