哥德尔不完备定理的不可判定性

王海东

【摘要】如果将无意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔不完备定理在一阶理论中就是成立的.如果将有意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔不完备定理在一阶理论中就是不成立的.由于哥德尔不完备定理在一阶理论中既是成立的又是不成立的，所以哥德尔不完备定理就变成了一个不可判定的一阶理论.

【关键词】哥德尔不完备定理;哥德尔完备性定理;哥德尔对角化语句构造定理

哥德尔不完备定理包括哥德尔第一不完备定理和哥德尔第二不完备定理.哥德尔第一不完备定理，是指包含二元谓语的一阶理论存在着一个不可判定的对角化语句.哥德尔第二不完备定理，是指任何一种具有相容性的一阶理论都不可能证明自身的相容性.由于哥德尔第二不完备定理是从哥德尔第一不完备定理中推导出来的，所以我们可以将哥德尔第一不完备定理视为哥德尔不完备定理的理论依据.

那么，哥德尔第一不完备定理是否成立呢？显然，要想知道哥德尔第一不完备定理是否成立，就必须知道对角化语句的构造方法.

那么，应当用什么方法构造对角化语句呢？显然，要想知道应当用什么方法构造对角化语句，就必须知道个体变元的哥德尔数.

那么，什么是个体变元的哥德尔数呢？从哥德尔数的定义来看，个体变元的哥德尔数就是用大于13的质数指数对所有个体变元进行编码的哥德尔数.这种哥德尔数在构造对角化语句的过程中具有一个极其重要的作用.这个作用就是将对角化语句所涉及的对角替换有序对从自相关有序对转变成为非自相关有序对.对角替换有序对就是由两个可以进行对角替换的数学对象构成的有序对.自相关有序对就是将两个相同的数学对象视为两個可以进行对角替换的数学对象的对角替换有序对.非自相关有序对就是将两个不同的数学对象视为两个可以进行对角替换的数学对象的对角替换有序对.

从这个公式来看，对角化语句具有两种构造方法.第一种构造方法是自相关构造法.自相关构造法就是用某个个体变元或用某个与之相对应的哥德尔数的自相关有序对构造对角化语句.第二种构造方法是非自相关构造法.非自相关构造法就是用某个个体变元或用某个与之相对应的哥德尔数的非自相关有序对构造的对角化语句.

由于对角化语句具有两种构造方法，所以对角化语句也具有两种表述方式.第一种表述方式是无意义对角化语句.无意义对角化语句就是用自相关构造法构造出来的、其数学对象不会在推导过程中发生任何变化的对角化语句.第二种表述方式是有意义对角化语句.有意义对角化语句就是用非自相关构造法构造出来的、其数学对象将会在推导过程中发生一定变化的对角化语句.

令A1代表无意义对角化语句，无意义对角化语句可以用以下公式表示：

令A2代表有意义对角化语句，有意义对角化语句可以用以下公式表示：

由于对角化语句具有两种表述方式，所以我们可以推出一个十分重要的数学定理：在个体变元与哥德尔数一一对应的条件下构造出来的对角化语句，既可以被构造成为一种无意义对角化语句，又可以被构造成为一种有意义对角化语句.这个数学定理就是哥德尔对角化语句构造定理.

令A代表对角化语句，我们可以用以下公式证明哥德尔对角化语句构造定理：

证毕.

从哥德尔对角化语句构造定理来看，任何一个对角化语句都可以构成一个对角替换有序对.这个对角替换有序对就是无意义对角化语句和有意义对角化语句的对角替换有序对.利用这个对角替换有序对可以构造一个新的对角化语句.这个新的对角化语句就是对角化语句的对角化语句.

令A′代表对角化语句的对角化语句，对角化语句的对角化语句可以用以下公式表示：

从这个公式来看，对角化语句的对角化语句同样具有两种构造方法.第一种构造方法是无意义构造法.无意义构造法就是用无意义对角化语句替换有意义对角化语句的对角替换有序对构造对角化语句的对角化语句.第二种构造方法是有意义构造法.有意义构造法就是用有意义对角化语句替换无意义对角化语句的对角替换有序对构造对角化语句的对角化语句.

由于对角化语句的对角化语句同样具有两种构造方法，所以对角化语句的对角化语句也同样具有两种表述方式.第一种表述方式是无意义的对角化语句的对角化语句.无意义的对角化语句的对角化语句就是用无意义构造法构造出来的、将无意义对角化语句视为表述方式的对角化语句的对角化语句.第二种表述方式是有意义的对角化语句的对角化语句.有意义的对角化语句的对角化语句就是用有意义构造法构造出来的、将有意义对角化语句视为表述方式的对角化语句的对角化语句.

由于对角化语句的对角化语句同样具有两种表述方式，所以对角化语句的对角化语句就必然会产生两个不同结论.从无意义的对角化语句的对角化语句来看，包含二元谓语的一阶理论肯定存在着一个不可判定的对角化语句.因为，这个对角化语句的数学对象不会在推导过程中发生任何变化.从有意义的对角化语句的对角化语句来看，包含二元谓语的一阶理论肯定不存在一个不可判定的对角化语句.因为，这个对角化语句的数学对象将会在推导过程中发生一定变化.

综上所述，令Z1代表一阶理论，A（x）代表根据一阶理论提供的某个个体变元或哥德尔数构造的一个对角化语句，B（A（x））代表能够证明这个对角化语句是否符合一阶理论的一个语句，我们可以用两种方法证明哥德尔第一不完备定理：一种方法是无意义对角化语句证明法，另一种方法是有意义对角化语句证明法.

令A（x）=A1，无意义对角化语句证明法：假定Z1A（x），我们可以根据哥德尔对角化语句构造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我们可以根据哥德尔对角化语句构造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一阶理论假定和B（A（x））的一阶理论结论是不一致的，所以A（x）在一阶理论中是一个不可判定的对角化语句.由于A（x）在一阶理论中是一个不可判定的对角化语句，所以哥德尔第一不完备定理在一阶理论中是成立的.证毕.

令A（x）=A2，有意义对角化语句证明法：假定Z1A（x），我们可以根据哥德尔对角化语句构造定理推出Z1B（A（x））.假定Z1A（x），我们可以根据哥德尔对角化语句构造定理推出Z1B（A（x））.由于A（x）的一阶理论假定和B（A（x））的一阶理论结论是一致的，所以A（x）在一阶理论中不是一个不可判定的对角化语句.由于A（x）在一阶理论中不是一个不可判定的对角化语句，所以哥德尔第一不完备定理在一阶理论中是不成立的.证毕.

由此可见，只要在一阶理论中引进哥德尔对角化语句构造定理，哥德尔第一不完备定理就会产生一个逻辑矛盾.这个逻辑矛盾就是：如果将无意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔第一不完备定理在一阶理论中就是成立的.如果将有意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔第一不完备定理在一阶理论中就是不成立的.由于哥德尔第一不完备定理在一阶理论中既是成立的又是不成立的，所以哥德尔第一不完备定理就变成了一个不可判定的一阶理论.

令G1代表哥德尔第一不完备定理，我们可以用以下方法来证明哥德尔第一不完备定理的不可判定性：

由于哥德尔第一不完备定理是哥德尔不完备定理的理论依据，所以这个证明也同时证明了哥德尔不完备定理的不可判定性.

那么，哥德尔不完备定理的不可判定性从何而来呢？显然，要想知道哥德尔不完备定理的不可判定性从何而来，就必须知道哥德尔不完备定理与哥德尔完备性定理的理论联系.

哥德尔完备性定理指出：一阶理论是完备的当且仅当它能够为自己的任何一个语句都提供一个符合自己要求的模型.

令L1代表一阶理论的一个语句，M1代表一阶理论的一个模型，哥德尔完备性定理可以用以下公式表示：

从哥德尔完备性定理来看，哥德尔不完备定理的不可判定性来自无模型.只要将哥德尔对角化语句构造定理视为一个模型，我们就可以消除哥德尔第一不完备定理的不可判定性.只要消除了哥德尔第一不完备定理的不可判定性，我们就可以消除哥德尔不完备定理的不可判定性.在消除了哥德尔不完备定理的不可判定性之后，哥德尔不完备定理就只能适用于无意义对角化语句而不能适用于有意义对角化语句了.这样一来，哥德尔不完备定理就不再是一个具有普适性的一阶理论了.我们就有可能建立起一个具有完备性的一阶理论了.

令G0代表哥德尔对角化语句构造定理，我们可以用以下方法来证明这个结论：

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