勾股定理的证明方法探究

李德润

摘 要：勾股定理又称为Pythagoras定理，在数学研究领域和实际的应用中具有重要的作用。经过不断的研究，眼睛研究出了400多种证明勾股定理的方式方法。本文根据对国内外学者的学术文献对勾股定理的推广应用进行细致的研究。

关键词：勾股定理 证明方法 应用分析

一、引言

勾股定理在数学领域内具有里程碑的意义。从我国最早时期的天文著作《周脾算经》中所记载的：勾股三，股修四，径隅五。再者就是由古希腊数学家毕拉哥研究发现，并被古希腊数学家欧几里记录在《几何原本》中；直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形。这些都是由毕拉哥拉斯定理在最开始时记录的。

勾股定理是证明问题的证据最多的定理之一，在代数和几何领域内被广泛应用，它不仅能解决直角三角形的边长和周长面积问题，而且解决了现实生活中的许多实际问题。因此，勾股定理不但但解决了高考题中的一些解题方法，也是解决现实生活中建筑施工和寻找井筒基准线中心问题的重要方法。在过去的四千年历史里， 勾股定理在不断演变的过程中又总结出来许多新的证明方法，同样在另外一些地方被应用。

二、中国古代勾股定理的诠释

在著名数学家商高的证明下， 《周髀算经》成为我国古代最早的数学著作，其主要内容包括天文和数学知识，其展现出我国古代人民聪明的智慧。 《周髀算经》中记载了周公与大夫商高的一段话，商高当时回答说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅。既方其外，数之所由生也”。

英国人约瑟夫.李约瑟将这段话解释为：将一个长方形沿对角线切割，宽度等于3个单位，长度为4个单位，这样两对角之间的对角线长为5个单位。也就是我们常讲的勾三股四玄五。 其次我们再用这条对角线为边画一个大正方形，再用几个同上文的半矩形把这个大正方形围起来，从而形成一个方形盘。

三、勾股定理的证明方法

3.1面积法。勾股定理的面积法也就是将两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法，是勾股定理在几何领域的基本。

3.2向量法。如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两斜边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

3.3分段算法。所谓的“分段算法”实际上是一种数学方法，通过对图形进行适当的分段并加以弥补来解决问题。我国古代数学家经常用这种方法证明毕达哥拉斯定理。它是中国古代数学的一大特色，在世界数学史上有着独特的贡献和地位。

四、勾股定理的应用

4.1在代数问题中的应用。沟谷定理在数学领域里是被广泛应用的，其中“形”和“数”这两个层面给人们很大启迪，如果单从“数”这一角度去分析勾股定理，我们就会注意到数论中表达的“整勾股数组”，也就是不定方程式的“正整数解组”，称之为“勾股数”

4.2在初等几何问题中的应用。勾股定理从定义上来讲，在诸多几何问题中，大多数几何证明题基本上都可以利用勾股定理来分析解题思路的。

4.3在立体几何为题中的应用。大家都知道三维空间，也就是立体几何，立体几何需要学生根据三维空间图并利用勾股定理来解决数学问题，因此立体几何和勾股定理是分不开的。

小 结

从以上几个方面来看，勾股定理在数学领域中占有非常重要的意义，也是人类文明史上的一颗耀眼的宝石，能否熟练的应用就要看我们能不能掌握其中的关键点及技巧，如果能熟练掌握，那么我们就可以将复杂的问题简单化，解题也会变得更加方便、快捷。时至今日，勾股定理的证明方法已多达400多种， 本文对勾股定理证明中用到 的 面 积 法，拼 接 法 等 都 给 出 了一些经典的例子。随着科技的进步和社会的发展，勾 股定理将会推广到 更 深 更 远 的 地 方。例 如，在 三 维 空 间 中，在面三角形上，或是在n维空间中。勾股定理作用广 泛，博大精深，更深层次地研究还需进一步探索。

参考文献

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