一道椭圆联赛题的探究与拓展*

北京市第十二中学高中部(100071)刘 刚

题目(2018年全国高中数学联赛B 卷)如图1所示,在平面直角坐标系xOy 中,A、B 与C、D 分别是椭圆的左、右顶点与上、下顶点.设P,Q 是椭圆Γ 上且位于第一象限的两点,满足OQ//AP,M是线段AP 的中点,射线OM 与椭圆交于点R.证明：线段OQ,OR,BC 能构成一个直角三角形.

图1

试题以椭圆为背景,考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及转化、数形结合等数学思想,检验了运算与求解、分析问题与解决问题的能力.试题平中见奇,内涵丰富,解法多样,符合新课标理念,是一道不折不扣的好题.

1 证法探究

证法1设点P 的坐标为(x0,y0),由于故存在实数λ,µ,使得

此时点Q,R 的坐标可分别表示为(λ(x0+a),λy0),(µ(x0-a),µy0),由于点Q,R 都在椭圆Γ 上,所以

从而线段OQ,OR,BC 能构成一个直角三角形.

点评该证法由命题组提供,在解决过程中以向量为工具,先是根据向量的位置关系以及从而表示出点Q,R的坐标,然后代入椭圆方程进行整体替换处理,体现了转化的思想以及坐标法的运用.

证法2设Q(x1,y1),P(x2,y2),M(x0,y0),因为P 在椭圆Γ 上,所以所以由此得

从而线段OQ,OR,BC 能构成一个直角三角形.

点评证法先设出点Q,P,M 的坐标,然后根据P,Q 在椭圆Γ 上以及M 是线段AP 的中点得出直线OR 的方程,接下来与椭圆方程联立得到了|并与|OQ|2=x21+y21相加完成解答,体现了设而不求的思想以及过程的简洁性.

证法3因为P 在椭圆Γ 上,所以设P(a cos α,b sin α),由M 是线段AP 的中点,得所以OM 的方程为联立,得

由此得

从而线段OQ,OR,BC 能构成一个直角三角形.

点评证法借助椭圆的参数方程先表示出点P 的坐标,然后进一步表示出直线OM 与OQ 的方程,并分别与椭圆的方程联立,得到了|OR|2与|OQ|2,由此将问题解决.参数法是破解椭圆有关问题的利器,尤其是最值或取值范围问题,因此在解题时应给予重视.

2 拓展

由解法2,3 可以得出OQ,OR 的斜率之积kOQ·kOR=这与椭圆的共轭直径有关,下面介绍椭圆共轭直径的概念及相关性质.

定义连结椭圆上任意两点的线段叫做弦,过椭圆中心的弦叫做直径,平行于直径CD 的弦的中点的轨迹AB 和直径CD 称为共轭直径.

椭圆的共轭直径有如下常见性质.

性质1如图2,已知椭圆的两条弦CD,EF 互相平行,其中弦CD 过椭圆中心O,弦EF的中点为G,直线OG 与椭圆交于A,B 两点,设A(x1,y1),C(x2,y2),则

证明设 E(x3,y3),F(x4,y4),G(x0,y0),则二者作差得 当x23-x24/0 时,即于是所以即kCD·由此得故当x23-x24=0 时,经过验证也满足综上,

图2

注当一对共轭直径所在直线的斜率都存在时,它们的斜率之积为当一直径所在直线斜率为0,另一直径所在直线斜率不存在.

性质2已知AB、CD 是椭圆的一对共轭直径,若A(x1,y1),C(x2,y2),则(1)x21+x22=a2；(2)y21+y22=b2；(3)|OA|2+|OC|2=a2+b2.

证明(1)因为A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆1 上,所以

即

由 ③× ④,得b4(x21-a2)(x22-a2)= a4y21y22.因为AB、CD 是椭圆的一对共轭直径,由性质1,所以0,即a4y21y22=b4x21x22,所以b4(x21-a2x22-a2=b4x21x22,故x21+x22=a2.

(2)由(1)问证明知,①+②,得b2(x21+x22)+a2(y12+y22)=2a2b2,将x21+x22=a2代入,得y12+y22=b2.(3)因为|OA|2+|OC|2=x21+y21+x22+y22,将x21+x22=a2,y21+y22=b2代入,所以|OA|2+|OC|2=a2+b2.

高考题与竞赛题都是集体智慧的结晶,在研究这些试题时,不能仅仅停留在会解的层面上,还应多反思题目是否有其他的解法? 能否将试题进行变式? 试题的本质是什么? 只有这样才能将试题的价值最大化,从而更好地引导教学.