重概念 强运算 提素养 增能力—以一道高三三校联考立体几何试题的命制为例

广东省广州市铁一中学(510600)何重飞 钟进均 陈 亮

立体几何作为综合考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等素养的重要载体,是高考数学必考内容之一.近几年来,立体几何试题的题型题量、分值分配、难度系数等都相对稳定,随着新课改的不断推进,特别是强调“以能力立意”逐渐转向“以素养立意”为命题原则的背景下,立体几何试题稳中有变,如以往第19 题立体几何,第20 题解析几何,2018年全国II 卷中这两题顺序颠倒,说明立体几何试题正在尝试增加难度,能力要求也在提升,今后立体几何试题将更加突出考查学生空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.另外,高考数学考试大纲从2017年起作调整,将以前三个选考模块中的“几何证明选讲”模块删去,这并不意味着这块内容不考,而是融入到解析几何特别是立体几何中考查,考得更加隐蔽,更加灵活.因此,教师在立几试题的遴选与命制过程中须充分考虑这一点,在复习备考教学中,须明确考纲、注重基础、重视概念、强化运算、提高素养、增强能力.

下面笔者以一道高三三校联考立体几何试题为例,谈谈笔者命制此题的一些背景、意图和设想,然后依据此题解答过程与方法以及学生答题情况做出点评与分析,并就立几内容高考复习备考给出一些思考和建议,希望可以得到同行们的批评指正.

一、试题呈现

(此题是2019 届高三理科三校(广铁一中、广大附中、广外)期末联考试题第20 题)

如图1,平面五边形ABCDE 中,∠ABC=∠AEC =∠CDE=90°,AC//DE,AE=2,ED=3,将△ABC 沿AC 折起,使平面ABC⊥平面ACDE,得到如图2所示的几何体.

图1

图2

(I)求证：平面ABE⊥平面BCD；

二、试题评析

1.试题原型与背景

2017年起考试大纲删除了《几何证明选讲》这一选考模块,平面几何内容的考查将融入立体几何和解析几何试题当中,立体几何试题在侧重考查空间想象能力和推理论证能力的同时,也适当加大了数学运算素养的考查； 2018年全国I卷文理科第18 题都考查了平面图形翻折问题.在这一背景下,笔者结合最新考纲要求命制改编出此题,此题的原型是2017年广州一测理科数学第19 题.

题目(2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学第19 题)如图3,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E 是BC 的中点,将△ABD 沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图4所示的几何体.

(I)求证：AB⊥平面ADC；

(II)若AD=1,二面角C -AB-D 的平面角的正切值为求二面角B-AD-E 的余弦值.

图3

图4

2.命题意图与设想

立体图形中的翻折问题,在平面几何问题与立体几何问题之间建立了桥梁,对学生进一步理解立体图形发挥着至关重要的作用.借助几何直观,将空间几何问题转化为平面几何问题,把握图形之间的关系,揭示数学问题的本质,对提升几何直观素养、数学抽象素养大有帮助.因此,以简单熟悉的平面图形翻折问题为背景命制此题,预期达到考查学生能力提高学生素养的目的.一是翻折问题对学生空间想象能力要求较高,二是平面图形设置了线段推理计算的障碍,鉴于此,从试卷的整体性考虑,把此题放在了全卷的第20 题.

第一问意图考查空间(点线面等)位置关系中面与面垂直的证明问题,考查学生空间想象能力与推理论证能力,考查学生是否能抓住图形翻折前后之间的关系,并应用转化与化归的思想论证面面位置关系.

第二问意图考查空间(角、距离、体积)度量关系中二面角的计算问题,考查学生识图、构图、作图、析图的推理分析能力、空间想象能力以及数学运算能力,其中一个重要的创新亮点在于把平面几何中的长度角度计算问题融入在此题中,间接考查平面几何中的直角梯形、三角形全等与相似以及勾股定理等基础知识.

3.试题解答与分析

试题解答

(I)证明：因为∠ABC =∠AEC =∠CDE =90°,所以AB⊥BC,CD⊥ED,又AC//DE,所以CD⊥AC,又因为平面ABC⊥平面ACDE,且平面ABC∩平面ACDE =AC,CD ⊂面ACDE,所以CD⊥平面ABC,又AB ⊂平面ABC,所以CD⊥AB,又BC ∩CD=C,且BC,CD ⊂平面BCD,所以AB⊥平面BCD,又AB ⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCD.

点评这一问大部分学生都可以得分,相当一部分学生拿不到满分主要是书写不规范,漏条件；也有少部分学生概念不清,不能够准确理解线面垂直、面面位置的判定与性质,逻辑推理论证能力不足,条理混乱.这一问关键点是需要抓住翻折过程中始终保持不变的△ABC 平面,即AB⊥BC；本题的一个难点是待证的两个平面在几何体中只出现了一个交点,另一个难点是线线垂直、线面垂直、面面垂直之间论证的定位与互相转化；因此解决此类问题,须熟练掌握线面,面面平行与垂直的判定与性质定理,加强逻辑推理与空间想象能力.

图5

(II)法一(综合法)如图5所示,由题意知四边形ACDE 为直角梯形,过点E 作EF⊥AC 交AC 于点F,所以四边形EDCF为矩形,设EF=CD=x,因为AE=2,ED=3,且AE⊥EC,所以在R t △AEC 中,AE2+EC2=AC2,即解得由(1)知CD⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC,所以EF⊥AB,过点F 作FG⊥AB 交AB 于点G,连结GE,因为AB⊥GF,AB⊥EF,GF ∩EF=F,且EF,GF ⊂面GEF,所以AB⊥平面GEF,又GE ⊂面GEF,所以AB⊥GE,所以∠EGF 即为二面角C-AB-E的平面角,因 为所以又因为R t △AGF ∽R t △ABC,所以所以过点F 作FH⊥BC 交BC 于点H,连结HE,因为BC⊥HF,BC⊥EF,EF ∩HF =F,且EF,HF ⊂面EFH,所以BC⊥平面EFH,又HE ⊂面EFH,所以BC⊥HE,所以∠EHF 即为二面角A - BC - E 的平面角,又因为R t △CHF ∽Rt△CBA,所以所以在R t △EHF 中,则有所以

图6

法二(坐标法)如法一,先求得如图6,过点F 作FZ⊥平面ACDE,则FE,FC,FZ 两 两垂 直,以分 别 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,因为F(0,0,0)、A(0,-1,0)、设易知n1=(1,0,0)为平面ABC 的一个法向量.

设平面ABE 的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则由取x2=1 得设二面角C -AB-E 的平面角为θ1,则因为又

易知θ2为锐角,所以即二面角A-BC -E的余弦值为

点评第二问学生答题情况比较糟糕,得分率很低,极少数学生能拿到满分,且拿满分的学生大都是采用综合法.此问不管是采用综合法还是坐标法,学生首要的障碍是平面直角梯形ACDE 中没有给出CD 的长度,而是要通过已知条件中的长度角度关系来求解,这正是求解此问的难点和关键点,也是笔者精心设计此题的亮点所在.从学生的答题情况可以看出学生平面几何基础知识薄弱,漏洞较大,缺乏有效的训练.虽然现行考试大纲删除了“几何证明选讲”模块,但在复习备考教学中平面几何知识绝不能忽视,建议将这一部分内容融入到解析几何特别是立体几何专题复习中,增强学生解决问题的灵活性与应用型.

方法一采用综合法,关键在于明确二面角的概念.首先根据空间图形及点线面位置关系准确作出所需二面角的平面角,其次根据二面角的定义利用三垂线定理及其逆定理证明所作之角即为所需二面角的平面角,最后依据点线面位置关系将空间需求的长度与角度计算问题转化到平面几何图形中求解,这个解题过程即是综合法求解空间角问题的“一作、二证、三计算”三步骤解题思路.可以看出,综合法求解空间角须始终明确空间角的概念,准确把握点线面的位置关系,明确空间角的概念是识图、辨图、构图、析图的前提,是几何法解决空间角问题的根本.

方法二采用坐标法,前提跟法一一样,须在平面直角梯形ACDE 中求出CD 长度,然后根据线面、面面位置关系建立适当的空间直角坐标系.利用空间向量解决此问的一个明显特征就是建系容易,标坐标不易,有的坐标比如B 点坐标还需要根据点线面的位置关系列出向量运算方程来求解,加大了难度,对代数方程思想的运用以及运算求解能力要求较高.一般情况下,在相对规则、“墙角”比较明显、建系方便的立体图形中,采用坐标法解决空间角问题往往比较简单,可以降低思维难度,以算代证,数形结合,需要学生重点掌握.

空间角是历年高考的重点考查内容,常见的解决方法有定义法、综合法、向量法、坐标法,其中定义法和综合法强调几何特性,需要明确概念的基础上在立体图形中找到二面角的平面角、线面角,方法简捷优美,但对学生逻辑推理能力和空间想象能力要求较高；而向量法和坐标法解题程序化,思维套路化,避免了作角找角的困难,虽然易操作但过程多,对学生运算求解能力和方程思想运用能力要求较高.对于此问,综合法明显比坐标法简便,但许多学生习惯于一上手就建系利用空间向量“粗暴”解决题目,这不利于学生空间想象和逻辑推理能力的培养,在立体几何的复习备考教学中需引导学生综合法和坐标法两手抓,根据题设条件选择恰当方法解决问题,提升学生多角度分析问题和解决问题的能力.

4、试题讲评与建议

(1)为了达到试题讲评效果,建议试题设问总体上降低难度、设置梯度、增强变式、逐层铺垫如下：

①求证：AB⊥CD；

②求证：AB⊥平面BCD；

③求证：平面ABE⊥平面BCD；

④求CD 的长度；

(2)结合2017年广州一测理科第19 题及2018年全国I卷文理第19 题,分析比较综合法与坐标法解决问题的过程方法和优劣,强化概念.

三、教学备考建议

1.熟读课标、明确考纲、把握方向

课程标准是服务教学,指导教学的纲领性文件,熟读课标是一线教师的基本要求.对于空间向量与立体几何教学,《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“应重视以下两个方面：第一,引导学生运用类比的方法,经历向量及其运算由平面向空间的推广过程,探索空间向量与平面向量的共性与差异,引发学生思考维数增加带来的影响；第二,鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题(如距离问题),通过对比体会向量方法的优势.在上述过程中,引导学生理解向量基本定理的本质,感悟“基”的思想,并运用它解决立体几何中的问题.”[2]

而考试大纲是高考命题的准则,它规定了高考考查的内容、范围、力度和要求.只有认真研读分析考纲,研究比较新旧考纲之间的变化以及变化所带来的影响,明确考试方向,才能有的放矢,把握备考方向,提高备考效率.比如现行考纲虽然删除了“几何证明选讲”模块,但这并不意味着这部分内容不考,而是融入在立几和解几中考查,因此在复习备考教学时更要关注重视这一点,重视平面几何基础知识的教学.

2.回归教材、注重基础、重视概念

高考命题源于教材又高于教材、许多高考试题的原型就是教材例习题的改编,立体几何内容的备考复习教学须回归教材、落实基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验.数学概念是数学的本质,数学概念在数学中的地位犹如游戏规则在游戏中的地位,规则不懂,谈何游戏.比如在运用综合几何法解决空间角问题时,若不熟悉空间角的概念,则无法准确找角和作角,熟悉空间角的概念是综合法解决此类问题的前提.因此,备考教学的重点应该放在基础概念、定义、原理和方法尤其是基础概念上,不论哪种层次的考生,基础部分的分值至关重要；另外要重视必修二中点线面位置关系的判定与性质的教学,加强学生推理论证能力.

3.强化运算、规范书写、示范解题

运算素养的考查几乎贯穿高考试题整卷,而强调计算与思维并重的立体几何试题对学生的运算能力提出了的更高的要求.解决立体几何距离、体积或空间角问题的一个难点就是计算关,特别是利用空间向量法解决立体几何问题时,计算量较大,学生容易算错,在复习备考教学时,教师须深入研究立体几何计算步骤中的算法算理,示范给学生,切实为学生计算减负.

另外,答题书写的规范性是历年来高考立体几何解答题评分的一个重要依据,许多学生会证明,但漏条件或者逻辑混乱；懂原理,但符号乱用错用；思路清晰,但笔误较多,卷面不够整洁,这些都会导致失分.在复习备考教学中,除了落实基础知识,基本技能外,还要重视解题步骤的规范训练,教师教学过程中要以教材或高考真题的解答书写为模板,示范给学生,让学生加以模仿和训练,让其养成良好的书写习惯提升意识和能力,并对学生的作业练习多一些面批面改,严格要求,及时纠正不规范之处.

4.精选例题、适当编题、提高效率

在复习备考教学中,教辅资料,试题试卷非常多,如何在有限的备考时间内选择切实有效的、符合考纲也适合学生的试题和素材是每一位高三老师需要面对的问题.教师应该在明确考纲、熟悉高考真题的基础上,依纲精心选择例题和习题让学生加以学习与训练,避开难题、偏题和怪题,提高备考效率；另外,教师也应适当命制和改编一定数量的课本例习题或者高考真题.

5.渗透思想、提高素养、增强能力

高中立体几何教学要教会学生从立体几何图形的识图、构图、析图等步骤多角度多方位剖析几何体,注重综合几何法与向量坐标法两手抓,多视角从不同方法解决问题,加强学生空间想象能力的培养；通过空间点线面位置关系转化论证教学加强学生逻辑推理能力,教学中渗透代数与方程、转化与化归、构造模型的数学思想方法,注重学法指导,教会学生解决一般立体几何问题的通性通法,在复习备考教学中提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养,增强学生分析问题解决问题的能力.