逻辑推理指引下极值点偏移解题策略的探究*

福建省南平市高级中学(353000)江智如

1.问题提出

极值点偏移问题是近年高考与各类模拟考的热点,常以压轴题的形式出现,考查考生数学阅读水平与能力、抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力.因为此类问题依托函数极值知识与不等式性质,考查考生数学知识与数学思想方法的综合应用能力,所以试题综合性强,难度大,得分率低,体现选拔功能.尽管各类的文献从不同的角度总结各种解题方法和技巧,但基于高中学生认知发展规律的方法不多,高中学生对此类方法无法理解与掌握,对此类问题感到困惑,束手无策.为此,笔者根据教学实践,基于高中学生的认知水平能力,在逻辑推理的指引下,探究有效解决极值点偏移问题的解题策略.

2.概念界定

一般地,若函数f(x)对定义域内任意自变量x 都有f(x)=f(2x0-x),则函数f(x)关于直线x=x0对称,此时函数f(x)在对称轴两侧,函数值变化快慢相同.特别地,若x=x0为f(x)的极值点,如果f(x)=c 的两根x1,x2,满足即极值点在两根的正中间,那么称函数f(x)的极值点x=x0没有偏移； 如果把相等变为不等,那么称函数f(x)的极值点x=x0偏移,简称极值点偏移.此时函数f(x)在极值点x=x0的左右两侧变化快慢不同,若则称极值点左偏；若则称极值点右偏.

本文研究的极值点偏移问题是指：“可导函数f(x),对于定义域内满足f(x1)=f(x2)的任意不同实数x1,x2,判断与极值点x=x0大小关系的问题”.

3.文献综述

在极值点偏移问题相关文献中,文[1]详细阐述极值点偏移问题并利用构造函数的方法解决此类问题,但作者没有探讨文章中的思路与方法如何推广到其他类型的问题； 文[2]介绍极值点偏移的判定定理,并通过具体的例子介绍极值点偏移的解题方法,但方法比较抽象,不利于高中学生的理解与掌握,只会让学生依葫芦画瓢,无法举一反三；文[3]-文[9]“以题论题”,只对某一类题型提出相应的解决方法,没有探讨这类解题方法如何推广到其他类型的极值点偏移问题；文[10]给出“和”型极值点偏移问题的统一解法,遗憾的是没有探讨如何推广到“乘积”型或“比值”型问题；文[11]-文[13]从高数观点的视角,利用对数平均不等式和泰勒公式进行求解,超出了高中阶段数学知识的范围与水平； 文[14]从竞赛角度探讨极值点偏移问题的本质与通法,对高中学生来说难度太大,不适合在高中数学教学中推广.因此探究适合高中数学教学讲授,让高中学生能够理解与掌握的解题策略与通法,是极值问题教学值得研究的课题.

为此,本文基于高中学生认知水平能力与发展规律,首先根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》[15]与《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)》[16]的要求,把极值点偏移问题归纳为五种题型：①无参数零点和型； ②含参数零点和型； ③导数值正负型； ④零点乘积型； ⑤零点比值型.然后从引导学生运用导数研究简单函数的性质和变化规律[15],培养学生会用导数解决实际问题[16]能力的视角,循序渐进,发挥学生的学习主动性,激发学生的最佳学习动机,在逻辑推理的指引下,探究归纳适合高中学生理解与掌握的有效策略与通法.

4.解题策略

波利亚(Polya)将数学解题过程分为四个步骤：“弄清问题,拟定计划,实现计划,回顾反思”[17],从而可以顺利解决相关数学问题.基于这种解题思路,笔者将极值点偏移问题解题策略分为四个步骤逐步实施：

(I)求特殊点：根据题设讨论函数f(x)的单调性,求出f(x)的极值点(或特殊点)x=x0；

(II)构造函数：借助分析法,执果索因,把x1+x2＞(＜)2x0转化为x1＞(＜)2x0-x2,利用f(x)的单调性,等价转化为证明f(x1)＞(＜)f(2x0-x2),因为f(x1)=f(x2),所以等价为证明f(x2)＞(＜)f(2x0-x2),构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x0-x),把原问题等价转化为判断F(x)的正负符号；

(III)讨论单调性：通过导函数F′(x),讨论F(x)的单调性,确定F(x)的单调区间；

(IV)取特值得结论：根据F(x)的单调性,结合F(x0)=0,判断F(x)的正负符号,从而确定f(x),f(2x0-x)的大小关系,最终证明原结论.

以上步骤归纳为：“常规运算取特值,分析化归觅行踪,构造求导定单调,特值判断得结论”.特别地,

②求解零点乘积型问题时,可以借助对数性质,转化为ln x1+ln x2关系式,从而把问题等价转化为“和”型问题进行求解；

5.典例解析

5.1.无参数零点和型

例1(2010年高考天津卷理科第21 题)已知函数f(x)=xe-x(x ∈R),若x1x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2＞2.

解析因为f′(x)=(1-x)e-x,所以可以判断f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而函数f(x)在x=1 处取得极大值又当x ＜0 时,f(x)＜0；当x ＞0 时,f(x)＞0； 当x →-∞时,f(x)→-∞,f(0)=0； 当x →+∞时,f(x)→0； 由f(x1)=f(x2),x1x2,故结合图象不妨设0 ＜x1＜1 ＜x2.

要证明：x1+ x2＞ 2,只要证2 - x1＜ x2,因为0 ＜x1＜1 ＜x2,所以2 - x1,x2∈(1,+∞).又f(x)在(1,+∞)上单调递减,故只需证f(x2)＜f(2-x1),由于f(x1)=f(x2),于是只要证明f(x1)＜f(2-x1).

构造函数H(x)=f(x)-f(2-x),x ∈(0,1),则问题等价于证明对x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立.因为

所以H(x)在(0,1)上单调递增,从而H(x)＜H(1)=0,即对∀x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立,因此x1+x2＞2 成立.

评析本例是极值偏移问题的经典考题,类似的还有2011年辽宁理科第21 题,2013年湖南文科第21 题,我们只需按照解题通法步骤可以顺利解决,很好地诠释极值点偏移问题的解题思路与技巧,考查考生推理论证能力,化归与转化的思想,促进考生逻辑推理素养、数学运算素养的提升.

5.2.含参数零点和型

例2(2016年高考课标I 卷理科第21 题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1+x2＜2.

解析(I)因为f(1)/=0,所以

当x ＜1 时,g′(x)＞0； 当x ＞1 时,g′(x)＜0； 故g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且当x ＜1 时,g(x)＞0,当x ＞1 时,g(x)∈(-∞,+∞),故由有两个解可得a ＞0,因此a 的取值范围为(0,+∞)；

(II)由(I)知,不妨设x1＜1 ＜x2,要证明x1+x2＜2,只要证x1＜2-x2,因为x2＞1,所以2-x2＜1,由于g(x)在(-∞,1)上单调递增,故只需证明g(x1)＜g(2-x2),又g(x1)=g(x2),故只要证明g(x2)＜g(2-x2),即证g(x2)-g(2-x2)＜0.

构造函数F(x)=g(x)-g(2-x),(x ＞1),只需证明在(1,+∞)上,F(x)＜0.因为

所以令

则φ′(x)=(1 - x)(ex-e2-x).由于ex- e2-x＞ 0,1-x ＜0,故φ′(x)＜0,于是φ(x)在(1,+∞)上单调递减,从而φ(x)＜φ(1)=0,因此F(x)＜0,即g(x)＜g(2-x),又x2＞1,故g(x2)＜g(2-x2),所以原不等式成立.

评析本例原函数含有参数a,利用分离参数法,把函数的零点问题转化为曲线的交点问题,构造函数g(x),把含参问题化归转化为不含参问题,再通过通法步骤进行求解.考查考生化归与转化的思想,方程与函数的思想,以及推理论证能力与运算求解能力.对于含参数的极值点偏移问题的解题策略可以总结为：“尽量消去参数,转化为不含参数的问题求解”,即“一分离,二构造,三依通法四步走”.

5.3.导数值正负型

例3(2018年福建南平5月理科第21 题)已知函数

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明：

解析(I)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以求导可得若a ≤0,则f′(x)＞0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；若a ＞0,则由f′(x)=0,得x=a；当0 ＜x ＜a 时,f′(x)＜0； 当x ＞a 时,f′(x)＞0； 因此f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增；

(II)由(I)可知,当a ≤0 时,函数y=f(x)至多有一个零点,与已知条件不符,故a ＞0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)＜0.要证明只要证明即证x2＞2a-x1.

不妨设0 ＜x1＜x2,则0 ＜x1＜a ＜x2,从而2a-x1＞a,由f(x)在(a,+∞)上单调递增可知问题等价于证明f(x2)＞f(2a-x1).因为f(x1)=f(x2),所以只要证明f(x1)＞f(2a-x1).

构造函数

则

于是F(x)在(0,a)上单调递减,故F(x)＞F(a)=0,即f(x)＞ f(2a - x),因为x1∈(0,a),所以f(x1)＞f(2a-x1),因此

评析本例利用f(x)的单调性,把导数值正负的问题等价转化为证明从而借助极值点偏移的解题通法进行求解.求解这类问题的策略是：化归转化为判断与x=a 的大小,再借助f(x)的单调区间来判断的正负,也就是把导数值的正负问题与原函数的单调情况联系起来进行求解.考查考生对导数研究函数性质相关知识的理解与掌握情况,考查考生分析问题和解决问题的基本能力,体现中学数学素质教育的本质,突出逻辑推理素养与数学运算素养在教学过程中渗透与培养的功能.

5.4.零点乘积型

例4(2019年金太阳高二联考理科第21 题)已知若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2,求证：x1x2＞e2(e 为自然对数的底数).

解析要证明x1x2＞e2,只要证明ln x1+ln x2＞2.由已知可得f′(x)=ln x-mx,因为f(x)有两个极值点x1,x2,所以x1,x2是f′(x)=ln x-mx=0 的两个不同实根.于是

有

联立得

从而

又0 ＜x1＜x2,令则t ＞1,从而

要证明

只要证

故h(t)在(1,+∞)上单调递增,因为h(1)=0,所以h(t)＞h(1)=0,即当t ＞1 时,有从而ln x1+ln x2＞2 成立,因此x1x2＞e2.

评析本例证明结论为极值点的乘积形式,根据极值点偏移的思路,通过对数性质化为ln x1+ln x2＞2,从而转化为“和”型问题求解.又由于函数f(x)含有参数m,故通过方程组的联立消去参数m,得到关于ln x1与ln x2的表达式,秉轴持钧,利用换元变化成函数h(t),讨论h(t)的单调性,借助h(t)的最值得到最终结论.考查了指对函数运算性质的知识,对考生的综合数学思想与数学能力提出较高要求,同时也考查考生对极值点偏移问题解题通法的理解与掌握情况,为考生解答提供广阔的发挥空间,使考生思维的广度和深度以及进一步学习的潜能得到展现,促进考生数学综合素养的提升.

5.5.零点比值型

例5(2014年高考天津卷理科第20 题)设f(x)=x-aex(a ∈R),x ∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1＜x2.证明：x1+x2随着a 的减小而增大.

解析由f(x)=x- aex=0,可得ln x=ln a+ x,即ln x - x=ln a,则ln x1- x1=ln x2- x2=ln a.令则x2=tx1,从而ln x1-x1=ln t+ln x1-tx1,故因此

再令

则

故h(t)在(1,+∞)上单调递增,从而h(t)＞h(1)=0,于是g′(t)＞0,因此g(t)在(1,+∞)上单调递增,则x1+x2随着t 的增大而增大.

另一方面,因为函数y=f(x)的零点可等价为直线y=a 与函数图象交点的横坐标,由于故在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,结合图象可知且0 ＜x1＜1 ＜x2,当a 减小时,x1减小,x2增大,从而增大,故t 随着a 的减小而增大,所以x1+x2随着a 的减小而增大.

评析本例所证明的结论虽不涉及极值点偏移问题,但其解题的思路需要依循极值点偏移的通法进行求解.因为要判断二元变量的单调性,所以可以考虑换元转化为一元变量,构造函数求解,考查化归与转化的思想.对于比值型的零点问题,常考虑换元变换为一元变量进行求解,可以减轻考生变量转化与运算求解的负担,有利于考生逻辑推理与数学运算素养的能力与水平的培养与提升.

6.探析感悟

“云散月明谁点缀,天容海色本澄清”.极值点偏移问题的本质是函数值变化快慢的问题,是导数在函数研究中的具体应用[15],对考生数学综合能力与素养的要求提出较高的要求,是培养考生逻辑推理能力的有效方法与途径,能够挖掘考生进一步数学学习潜能.波利亚(Polya)认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”[18].在日常的教学中,教师可以从具体、计算量小的函数模型出发,引导学生理解掌握极值点偏移的解题策略与通法,从学生的认知发展水平出发,设计合理的“精致练习”[19],循序渐进地训练学生分析问题,构造函数,通过导数研究函数性质,解决实际问题,让学生体会数学学习的成就感,激发学生数学学习的兴趣和动力,促进学生综合数学素养的提升.