例谈简化平面解析几何运算的几种“优先策略”*

江苏省镇江市丹徒高级中学(212143)范习昱

平面解析几何是在建立平面直角坐标系基础上,用坐标表示点,用二元方程表示曲线(包含直线、线段),通过代数运算处理几何问题的数学分支,解析几何的根本思想是将几何问题代数化,其根本方法就是“解析法”,即“用代数方法研究几何图形的性质”.其优点就是使复杂图形具有的几乎所有几何性质都能用代数方程的形式体现出来,求解也变得机械、程式化,从而使计算机智能运算成为可能.然而,在高中数学课堂,代数运算有时会显得特别复杂和烦琐,学生叫苦不迭,退缩放弃,久而久之,产生畏惧心理.

对于一线教师而言,特别是高三教师,都有这样的感叹：为什么有很多思维含量不是很大的解析几何题却难住了很多甚至优秀学生? 无疑,大量的、繁杂的运算是首要原因,事实上,简化解析几何运算也一直是高考复习备考的重点研究课题,广大教师也一直都在探寻减少和克服复杂运算的方法.我认为,一方面千方百计教会学生算理和一般的计算技巧,另一方面就是控制运算量即教会学生如何根据题中条件优选方法而适当合理的减少运算量.

笔者结合教学实践,考虑到解析几何自身运算量大的特点,一旦方法选择不当,将会浪费大量时间,甚至有可能算不出来而放弃.因此,在审题探寻求解思路时,应该贯彻如下几种优先策略：定义优先、平面几何性质优先、向量坐标运算优先、特殊法优先,在这些优先思想的指引下,往往能够简化运算并成功解答.下面选择解析几何中的经典案例加以分析阐述.

1.定义运用优先,避免繁杂运算

案例1过椭圆左焦点F1,倾斜角为60°的直线交椭圆于点A,B,且|F1A|=2|F1B|,求此椭圆的离心率.

法一：传统解法根据倾斜角为60°设直线方程,联立方程组,得到一元二次方程,用韦达定理建立关系,消元得到a,b,c 的关系,进而求得离心率；或者利用椭圆的参数方程求解.不难看出这两种方法的计算量较大,很多学生要么算错,要么半途而废.(具体过程略)

图1

法二：优化解法一如图1,记椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,由已知|F1A|=2|F1B|,设AF1=2t,BF1=t(t ＞ 0),由椭圆的定义知,AF2=2a - 2t,BF2=2a-t.在△AF1F2中,由余弦定理得：|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1||F1F2|cos 60°,即(2a-2t)2=(2t)2+(2c)2-2(2t)(2c)cos 60°,化简得

同理,在△BF1F2中,由余弦定理得：|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2-2|BF1||BF2|cos 120°,即(2a-t)2=t2+(2c)2-2t(2c)cos 120°,化简得

图2

法三：优化解法二

另一方面,在Rt△BC′F1中∠BF1C′=60°⇒BF1=2F1C′,故F1M =F1C′+C′M =于是

又|F1A|=2|F1B|,所以可得

评析本题若用常规解法：联立

再结合条件|F1A|=2|F1B|求解,运算量很大,一般的学生很难掌控.审题发现,直线AB 过焦点,我们可以用椭圆的第一定义求解.法二虽然计算有所简化,但是变量较多,消参是一个思维难点,且运算量依然偏大.观察题目发现,涉及椭圆上的点到焦点的距离,且是求解离心率,这恰恰是椭圆第二定义,所以用椭圆的第二定义解决本题应该最为简便的.优先考虑使用椭圆的定义(包括第一第二定义,甚至极坐标方程定义),再结合有关平面几何性质来求解,便可达到简捷运算的目的.

案例2设F1,F2分别是椭圆的左右焦点.是否存在经过点A(5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直线l 的方程；若不存在,请说明理由.

优化解法设交点为C(x1,y1),D(x2,y2),设它们到右准线的距离分别为d1、d2,根据椭圆的第二定义,有又因为|F2C|=|F2D|,故d1=d2,于是x1=x2.故CD 所在直线l⊥x 轴,又直线l 经过A(5,0),于是直线l 的方程为x=5,但x=5 与椭圆无公共点,所以,满足条件的直线不存在.

评析传统方法的思路是设出直线方程,联立方程组再设交点为C(x1,y1),D(x2,y2),根据|F2C|=|F2D|可知F2在弦CD 的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入F2点即可判断.但是在求解中点时运算量还是较大,依然存在算错的风险.优化解法利用椭圆第二定义,直接而非常轻松的直线l 的方程,再加以判断检验,几乎没有什么运算,让人眼前一亮.将两种方法比较,不难发现,优先考虑定义求解,可以避免学生少走弯路,节约时间成本,同时这也是培养和优化思维的最佳选择.

定义是事物本质属性的概括和反映,解析几何中的直线和圆、以及圆锥曲线的的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来,或者与定义有关可以转化为定义求解.对某些解析几何问题,领悟采用定义优先的思想,把定量的计算和定性的分析有机地结合起来,往往能准确判断、合理运算、化繁为简,灵活解题.因此,解析几何题的首选策略是回归定义、定义优先,从以上案例中,不难发现优先考虑定义是求解解析几何问题的第一思路,千万不可忽视定义在解析几何解题中的强大作用.

2.平面几何性质优先,运用转化技巧

案例3设F1,F2分别是椭圆(a ＞b ＞0)的左右焦点,M 是C 上一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C 的另一个交点为N.

图3

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且MN =5F1N,求椭圆C 的方程.

法一：传统解法(1)略；(2)设N(x1,y1),设直线MN的方程联立椭圆得到一个一元二次方程

又在三角形△MF2F1中由中位线定理得MF2=2OD,得即M(c,4),由二次方程根与系数关系以及b2=4a,求得代入椭圆解得a=7,

法二：优化解法一(2)设N(x1,y1),M(x2,y2),利用向量即(x1-x2,y1-y2)=5(x1+c,y1),设直线MN 与y 轴交点为D,在三角形中由中位线定理得MF2=2OD,得即M(c,4),求 得下同法一.

法三：优化解法二(2)设N(x1,y1),设直线MN 与y轴交点为D,在三角形中由中位线定理得MF2=2OD,得即M(c,4),即过N 作NE⊥x 轴,垂足为E,由MN=5F1N 及三角形相似的线段比例关系知道知道且知道y1=-1,即下同法一.

评析本题的第二问关键在于求解点N 的坐标,法一采用联立直线和椭圆方程求解不是最佳选择,运算量偏大.法二利用向量方法采用坐标计算,减少了很多计算,值得推广.法三利用三角形中的中位线定理和三角形相似的线段比例关系等平面几何知识巧妙的规避了计算量,是首选方法.

解析几何问题的本质还是几何问题,几何问题代数化是具体层面的方法,一味强调解析几何中的代数转化,自然不可避免的使运算量加大,有时会导致异常烦琐的过程,而如果在进行代数计算的同时优先考虑几何因素,即在用代数方法研究曲线间关系的同时,充分利用好图形本身所具有的平面几何性质,比如中垂线、三角形的边角关系、平行线段分比例关系等等,常常可以达到简化运算的目的,得到简捷而优美的解法.

3.向量坐标运算优先,领悟解析法的本质

案例4如图4,在平面直角坐标系xOy 中,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),且△BF1F2是边长为2 的等边三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)过右焦点F2的直线l 与椭圆交于A、C 两点,记△ABF2,△BCF2的面积分别为S1,S2.若S1=2S2,求直线l 的斜率.

图4

法一：传统解法(1)(解答略)

(2)设直线AC 的方程为y =k(x-1),又设A(x1,y1),C(x2,y2)联立椭圆方程有3x2+ 4k2(x - 1)2=12,即(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由根与系数的关系得,

又 由S1=2S2,得AF2=2F2C,即且F2(1,0),则(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),得x1=3-2x2,代入上式消去x1,x2得到关于k 的方程

法二：优化解法一设A、C 两点坐标,利用S1=2S2和椭圆方程,求出点C 坐标,求出直线的斜率.由S1=2S2,得AF2=2F2C,即又设A(x1,y1),C(x2,y2),且F2(1,0),则(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),即由

法三：优化解法二设A、C 两点坐标,利用S1=2S2和椭圆第二定义,求出点C 坐标,求出直线的斜率.设F2(1,0),A(x1,y1),C(x2,y2),(同法二)由S1=2S2得又AF2=2F2C 和椭圆第二定义得e(4-x1)=2e(4-x2),即x1=-4 + 2x2,则下同法二.

评析法一设直线斜率,联立直线和椭圆方程用斜率表示A、C 两点坐标,然后利用已知条件转化为向量关系求出直线的斜率再加以检验,是这类问题的传统解法,运算量较大.法二将面积关系转化为向量关系结合椭圆方程直接求解A、C 两点的坐标,计算量反而不大,这里之所以能够简化运算,根本原因在于优先使用向量求解.法三利用椭圆的第二定义得到A、C 两点的坐标关系,非常轻松的求解出A、C 的坐标,计算量一下子减少了很多,是最优解法.

解析几何的根本思想是几何问题代数化,其根本方法就是“解析法”,就是坐标运算.从案例4 可以看出若能将圆锥曲线与直线问题转化为向量问题,就为坐标运算提供了便利,案例4 的两种优化解法都离不开向量的工具作用.因此,为了能够简化解析几何运算,必须贯彻向量坐标运算优先的思想,充分领悟解析法的本质.

4.猜想结果优先,领悟以证代算的思想

案例5如图5,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆的离心率为右准线方程过点P(0,1)分别作斜率为k1,k2(k1/k2)的直线AB,CD 与椭圆T 分别交于A,B,C,D,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点.

(1)求椭圆T 的方程；

(2)若k1+k2=1,直线MN 是否过定点,若是,请求出定点,若不是,请说明理由.

图5

法一：传统解法(1)椭圆方程(详解略)

(2)依题设,k1k2,设M(xM,yM),N(xN,yN),设直线AB 的方程为y=k1x+1,代入椭圆方程并化简得于是

同理

直线MN 的斜率

直线MN 的方程为

即

法二：优化解法(2)依题设,k1k2,设M(xM,yM),N(xN,yN),设直线AB 的方程为y =k1x+1,代入椭圆方程并化简得(5+9k21)x2+18k1x-36=0,于是同理由k1+ k2=1 知当k1=0 时k2=1,直线MN 的方程是y=x+1.知当直线MN的方程是联立方程组解得交点即为定点Q(-1,0).下面证明M,Q,N 三点共线即可,即证kMQ=kNQ即可.(计算略)

评析定点问题是解析几何重点研究的方面,也是高考命题的热点.法一直接求解直线的方程,再探究定点,会导致较大的运算量,很多学生难以完成这一过程.而法二先采用两种特殊情况求出定点,再通过证明三点共线,进而证明推导出直线过定点,从逻辑上说是严格的,我们发现,这种利用特殊法先探究出定点,再加以证明的方法,即“以证代算”的思想可以大大简化运算量.

关于解析几何简化运算的几点反思

一、解析几何的根本思想是几何问题代数化,就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题,这为研究几何图像性质提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐,势必对运算能力提出较高要求.其实,只要有简化运算的意识,领悟上述优先思想,注意探索和总结简捷运算的常见技巧,进行有关的规律总结,许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的.

二、给学生讲解简化运算的技巧并不是降低学生计算能力的培养,高中数学的教学目标之一就是要训练培养计算能力,这也是高中数学核心素养之一.本文的主旨在于探讨当学生面对过于复杂的运算时特别是圆锥曲线的繁杂运算时,教师应该讲授适当的简化运算的方法、甚至合理运算思维和技巧.

三、传统方法是通性通法,应用广泛,是解决问题最基本而又最常规的方法.思维起点较低,学生易于上手,回归通法,是最起码的训练要求.而技巧往往带来很大的思维量,很多学生不易理解,如果学情不允许,技巧也应慎用.其实通法做到底,也能有新意! 而且熟能生巧,通法常常是产生新思想、新解法的基石.

结束语

本文精选案例,探讨了四种解析几何中常用的减少计算量的方法.由于学生考试时间宝贵,教师应给学生贯彻这些优先思想,让学生用心领悟,方可避免浪费时间.当然,在解决解析几何问题时,减少计算量的方法还有很多,有些不太常见,这里不再赘述.