对一道圆锥曲线题的解法探究与类析

2019-08-03西北大学附属中学

中学数学杂志 2019年13期

关键词：考题切线斜率

☉西北大学附属中学郭涛

历年高考中均有一些较为优秀的考题，这些考题的特点和解法具有一定的代表性，若深刻挖掘考题则可以发现其命题的来源，从中也可提炼出一些数学结论.本文将以2018年的一道圆锥曲线题为例，开展解法探究与类题溯源，以期与读者交流.

一、考题再现，解法探究

考题1：（2018年新课标理科卷Ⅰ第19题）设椭圆C：=1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于点A和B，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴相垂直时，求直线AM的方程；

（2）设点O为坐标的原点，证明：∠OMA=∠OMB.

评析：本题目属于高考圆锥曲线压轴题，给出了椭圆C的方程以及直线AM所经过的点.第（1）问求直线AM的方程，属于常规问题.第（2）问在坐标系中构建了几何角，求证等角关系，考虑到本题目是以圆锥曲线为背景，因此求解几何等角问题存在一定的难度.同时对于该问题可以从不同的视角，采用不同的策略来进行分析，下面对其进行深入探析.

2.解法探究

（1）已知直线l经过点F，且与x轴相垂直，可求点F的坐标为（1，0），则直线l的解析式为x=1.又知直线l与椭圆C相交于点A和B，将直线l的解析式代入椭圆方程中，可解得y=±，则点A的坐标可能有两个，即和）.已知点A和点M的坐标，采用两点式即可确定直线AM的方程，即x-y-2=0或x+y-2=0.

图1

（2）该问以椭圆和直线为背景构建了两个几何角，求证两角相等，由于线段OM与坐标的x轴相重合，则可以将等角证明问题转化为分析直线的斜率问题，即分析直线AM和BM的斜率.根据题干绘制图像，如图1所示，显然若∠OMA=∠OMB，则直线AM和BM的斜率互为相反数，即kAM+kBM=0.常规的思路是联立直线和椭圆的方程，采用设而不求的代换思路来证明.另外考虑到直线l的斜率未知，因此需要分斜率存在和不存在两种情形来加以讨论.

1.考题再现

①当直线l与x轴垂直时，其斜率不存在，此时直线OM为线段AB的垂直平分线，显然有∠OMA=∠OMB.

②当直线l与x轴不垂直时，其斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM和BM的斜率分别为kAM和kBM.联立直线与椭圆的方程，整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，由根与系数的关系可得）=0，所以=0，则∠OMA=∠OMB.

二、解法拓展，多解探析

考题的第（2）问是以椭圆和直线为背景，来求解几何角相等，属于圆锥曲线中较为特殊的考题.上述在求解时采用了常规的求法：利用几何角与直线斜率的关系，将证明等角问题转化为分析直线的斜率问题，然后联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系，采用设而不求的思路来完成证明.其中的几何角的代数转化是解题的关键一步，对于该问还存在以下几种方法，下面分别进行探析.

1.法一：角度向正切的转化

第（2）问证明几何角相等，可以在图像中构建直角三角形，利用几何角与正切的关系来完成证明，具体思路如下：

①直线l与x轴垂直时，其斜率不存在，证明同上，略；

②直线l与x轴不垂直时，其斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1·y2≤0.过点A作x轴的垂线，垂足为点D，再过点B作x轴的垂线，垂足为点E，如图2所示，则求证∠OMA=∠OMB，只需要证明tan∠OMA=tan∠OMB即可.若tan∠OMA=tan∠OMB，则有入有，即证明0，后续解法同上.

2.法二：角度向共线的转化

求证∠OMA=∠OMB，已知点A和B为直线l与椭圆的交点，若过点A作关于x轴的对称点A′，则等角成立时有B、A′和M三点共线.圆锥曲线中的三点共线可以通过分析两点所在的直线的斜率来完成，具体如下：

①直线l与x轴垂直时，其斜率不存在，证明同上，略；

②直线l与x轴不垂直时，其斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1·y2≤0，过点A作x轴的对称点A′，如图3所示，则其坐标为（x1，-y1）.若∠OMA=∠OMB，则B、A′和M三点共线.只需要分析直线MA′和直线MB的斜率即可.其中MA′的斜率可表示为，MB的斜率可表示为，则只需要证明=0即可，后续解法同上.

图2

图3

三、类题追溯，结论提炼

1.类题追溯

本试题是2018年新课标卷Ⅰ的圆锥曲线压轴题，问题涉及直线方程的求解以及几何等角的构建与证明，属于圆锥曲线中的经典问题.实际上该考题是对历年考题的变式改编，形异而质同，本题目与2015年的全国卷Ⅰ的第20题相似，下面对其解法加以探析.

考题2：（2015年全国卷Ⅰ第20题）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线：y=kx+a（a＞0）相交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求曲线C在点M和N处的切线方程；

（2）分析y轴上是否存在一点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？并说明理由.

解析：（1）该问求k=0时，曲线C在点M和N处的切线方程，解题的关键是求解曲线C的切线方程，后续只需要将点M和N的坐标代入即可，分析可得点M处的切线方程为x-y-a=0，点N处的切线方程为+y+a=0.

（2）该问看似属于圆锥曲线中的动点问题，但实际上可以视为证明当∠OPM=∠OPN时点P的坐标.参照上述的常规思路，可将等角问题转化为证明直线的倾斜角问题，具体如下：

设点P（0，b）为符合条件的点，设点M和N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），直线PM和PN的斜率分别为k1和k2，联立直线y=kx+a和曲线C的方程，整理可得x2-4kx-4a=0，由根与系数的关系可得x1+x2=4k，x1·x2=-4a，则k1+k2=.当a=-b时，有k+k=0，此时直线12PM与直线PN的倾斜角互补，则有∠OPM=∠OPN，因此P（0，-a）为符合题意的点.

图4

上述第（2）问求等角时y轴上动点P的坐标，同样属于圆锥曲线中的几何角问题，与考题1相比，不同之处在于圆锥曲线的类型，考题1是以椭圆为背景，而该题目是以抛物线为背景，但解题的思路是一致的，同样可以采用不同的方法加以分析.其中常规的解法是转化为直线的斜率问题，联立方程进行求解.视角的拓展则是考题1的切线转化和共线转化.