用“转化与构造”求解向量中的最值问题

☉湖北大学附属中学 章雄钢

2017年版高中数学新课程标准强调“四基”“四能”，将“三维目标”整合、内化、升华为“数学核心素养”，体现了新时代对数学课程育人的要求：用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.

平面向量是现代数学中既重要又基本的概念之一，它是由物理学和工程技术抽象出来的，是对某些自然事物高度概括抽象的结果，它是沟通几何、代数的重要桥梁，是认识多维空间的基础，是研究相关数学问题、解决物理学和工程技术的重要工具.高中阶段平面向量一章的内容可以简单概括为“234n”，即：两个定理、三种法则、四种运算、n个概念，其中蕴含了数形结合、转化化归、坐标法等数学思想方法.向量有用，关键是它具有一套良好的运算性质，能实现“形”与“数”的互化，从而解决各种“形”与“数”的问题，其解决问题的路径简而言之为：“形到向量”↔“向量的运算”↔“向量和数到形”.用“转化与构造”的方法求解向量中的最值问题就是最好的案例，也是培养学生数学核心素养的好载体.

一、“转化”让求解向量中的最值问题程序化

转化是极其重要的数学思想方法，是实现由难到易、由繁到简、由未知到已知的关键.平面向量有两个解决问题的至尊法宝：平面向量基本定理和坐标.通常将问题转化到“基底”和“坐标”表示的情境中，再利用相关定理和性质解决问题.

图1

例1如图1，在平面四边形ABCD 中 ，AB⊥BC，AD ⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为______.

分析：|cos∠AEB，、cos∠AEB均为变量，是一个“动态问题”，需要将其转化为“静态问题”来解决，通常采用的解决方法是“基底法”和“坐标法”，用相关的定理、性质解决问题，体现了“程序化”特点.

解法1：选取为基底，设t（t≥0），

图2

向量题是高考的常考题，实践证明，在解决有关向量问题时，一是要善于运用向量的各种运算解决问题，以体现出运用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算体现了数与形相互转化的思想，体现了数形结合思想在解决数学问题上的作用.“基底法”是根据平面向量基本定理，化未知为已知，化零乱为有序，在统一的表达方式下利用定理、性质解决问题.“坐标法”通过巧妙地建立平面直角坐标系，构建起代数与几何联系的桥梁，从而利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决问题，实现以形思数，以数解形的化归与转化思想和函数与方程思想.坐标法解决问题通常有三个步骤：第一，建立直角坐标系；第二，将向量用坐标表示；第三，代入式子进行坐标运算.

二、“构造”让求解向量中的最值问题图形化

在解决向量数量积的最值时，根据向量的“方向”、“大小”的二元特性，在解决向量问题时，可以构造圆，将问题转化为圆的性质、三角形中的正弦定理或余弦定理等来解决问题；也可以联想向量加法的“三角形法则”、“平行四边形法则”等构造三角形或平行四边形解决问题.通过“构造”有效的图形，让向量问题“图形化”.与学生对平面几何的认知勾连起来，“构造”容易识别的函数模型，让向量问题“代数化”与函数、不等式等知识勾连起来，实现知识、方法和能力的同化.

例2如图3，在△ABC中，已知，AC=2，则的最大值是______；最小值是______.

分析：在△ABC中，对边与对角是定值，则外接圆的半径为定值，联想并构造三角形外接圆.

解：如图4，构造△ABC的外接圆，

图4

根据向量的几何属性，构造出学生熟悉的图形，让解题更直观，化难为易.让学生利用已知知识解决新问题的过程，正是提升学生思维品质的过程，有利于激发学生学习的主动性、积极性、趣味性、创新性，真正发挥数学课程在培养学生核心素养中的作用.

三、“转化与构造”让求解向量中的最值问题模型化

学生数学核心素养的养成，其实质就是在学习的过程中，首先形成数学场域里的思维方式、解决问题的方法，并理解数学的本质，然后将形成的思维方式、解决问题的方法迁移到实际应用场域中去解决问题.基于数学核心素养和数学学科的本质特点，核心素养外显的形式即解决问题方法的模型化，并根据学生学识的增长，不断优化这些模型.上述案例显示，学生在求解向量中的最值问题时，可以形成解决问题的模型.

例3已知a、b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则|c|的最大值是多少？

分析：如图5，a⊥b⇔OA⊥OB⇔点O在以AB为直径的圆上，

则O、C两点都在以AB为直径的圆上，OC是此圆的弦，因此，可以通过构造圆来解决问题.

图5

解法1：（构造法）如图5，构造圆，得弦OC的长=|c|≤直径AB=，即|c|max=.

解法2：（转化法）因为|a|=|b|=1，a·b=0，所以|a+b|=.

因为（a-c）·（b-c）=0，所以a·b-（a+b）·c+|c|2=0.

所以|c|2=（a+b）·c=|a+b·||c|cosθ=|c|cosθ（θ=〈a+b，c〉）.

解法3：（坐标法、构造法） 设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

平面向量中的最值问题的求解是强化学生“四基”，培养学生“四能”的良好的载体，我们在教学过程中要有效利用.求解平面向量中的最值问题，方法很多，但其本质是围绕充分利用向量的基本知识、基本思想和处理向量问题的基本技能、基本活动经验展开的，在“教”与“学”的过程中，根据问题背景，学生能发现并明确问题的本质是什么，并利用已有学识，通过分析，给出问题解决的方案.在这个过程中，其工具是“转化”和“构造”，在转化、构造过程中联想与向量相关的函数思想、方程思想、数形结合思想、坐标化思想等，实现问题、知识、方法等本质上的关联，以解决问题.W