思维在多解中提升，素养在探究中发展——一道有关抛物线的阿基米德焦点三角形问题

☉四川省南充高级中学 胡 敏

抛物线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.有关抛物线的阿基米德三角形在近年高考、自主招生、竞赛以及一些模拟卷中经常出现，且背景各异，常考常新，变化多端，有时以选择题或填空题的形式单独出现，有时出现在解答题当中，并与相关的圆锥曲线问题加以交汇与综合.了解涉及阿基米德三角形的一些知识，对于解决问题很有帮助，也可以在很大程度上拓展知识面.

一、问题呈现

问题（2019届四川省成都市高三模拟·16）已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l，l，且l，l相交于点P，则的最小值为______.1212

本题中对应的△PAB就是一个特殊的阿基米德三角形.常规的破解方法是利用函数与方程的转化法来处理，即设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线C联立并化简得x2-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4，对x2=4y两边求导得y′=x，故切线PA的方程为（x-x1），切线PB的方程为（x-x），联立可解得P点坐标，进而代入2，最后利用导数法、均值不等式法等方法来确定最值.

二、试题解析

解析：设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

结合抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4，

对x2=4y两边求导可得，故切线PA的方程为，切线PB的方程为

解法1：（导数法：涉及含参的函数问题，通过换元思维来构造对应的函数，通过求导，结合导函数为零所对应的零点即函数极值点来确定相应的最值问题，是解决含参函数最值的常见思维.）

解法2：（均值不等式法：对于含参的函数问题，通过相应代数式的配凑，结合代数式的特征，借助三次均值不等式的应用来确定对应的最值问题.利用均值不等式确定最值时，要注意对相应的代数式进行合理且正确的配凑与转化，这也是解决问题的关键所在.）

点评：破解此类问题常规的思维方式就是通过设出对应的直线方程，利用直线与抛物线的位置关系加以转化，利用函数与方程的思想求解对应的弦长、直线方程以及其他相关的问题，进而利用导数法、三角函数法、基本不等式（或均值不等式）法等来确定其最值，从而得以破解.

三、模型归纳

其实，以上过焦点的弦所对应的阿基米德三角形是一个更为特殊的三角形.过抛物线C的焦点F作抛物线C的弦，与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，那么△PAB就称为阿基米德焦点三角形.

该阿基米德焦点三角形有以下几个特征：

（1）P必在抛物线C的准线上；

（2）△PAB为直角三角形，且∠P为直角；

（3）PF⊥AB（即符合射影定理）.

利用以上阿基米德焦点三角形的性质，可以更加快速且简捷地来处理以上问题.

分析1：（焦点弦性质法1：设出直线AB的倾斜角θ，借助抛物线的极径公式确定|AF|与|BF|的代数式，结合阿基米德三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，从而确定|PF|的代数式，再结合均值不等式的应用，利用配凑法来确定的最小值.）

解法1：设直线AB的倾斜角为θ，不失一般性，根据抛物线的对称性，不妨设

由阿基米德三角形的性质可得PA⊥PB，PF⊥AB，

结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=即，那么

分析2：（焦点弦性质法2：设出|AF|=m，|BF|=n，结合阿基米德三角形的性质并通过直角三角形的射影定理来建立相应的关系式，进而得到|PF|2=|AF·||BF|=mn，通过抛物线的焦点弦性质的变形与转化得到m+n=mn，进而通过均值不等式的应用，利用配凑法来确定的最小值.）

解法2：由阿基米德三角形的性质可得PA⊥PB，PF⊥AB，

设|AF|=m，|BF|=n，则有|AB|=m+n，

结合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=mn，

则有|AB|=|PF|2=mn，

即mn=16时取等号，

点评：有关抛物线的焦点弦的相关性质的结论是我们比较熟悉的，通过这些结论并结合阿基米德三角形的性质，可以有效提升解题速度，提高解题效益.

四、总结归纳

其实，除了在抛物线中存在阿基米德三角形及其相关的结论外，椭圆与双曲线中也有类似的阿基米德三角形问题.综合而言，在圆锥曲线中都存在着对应的阿基米德三角形，圆锥曲线的弦与过弦的两端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.阿基米德三角形还有很多其他的性质，可以通过网络查找一些相关的性质，对于发展与拓展学生的知识面与思维很有帮助，从而真正地提升深入学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.F