对一道三角形问题的多解探究

☉江苏省张家港市崇真中学 陈 斌

在近年的各种类型的考试中，经常会碰到涉及三角形面积及其相关问题的最值或取值范围问题.此类问题往往前景活泼多样，而且解答难度较大，解决问题的思维方式多变，解决方法有时也多种多样.因此一直备受命题者的青睐.

一、问题呈现

例题在面积为2的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则a2+2b2+c2的最小值为______.

本题通过三角形面积的给出，进而求解三角形的三边相应的代数关系式的最值.解决问题时可以从“数”的角度入手，也可以从“形”的角度入手，以及数与形的有机结合.题目非常简单，入手反而比较难，中间涉及的知识点也不少，是一个融合多个知识点、多种思想方法的创新题，可以非常有效地考查知识点的掌握，而且还有助于数学学科素养的培养.

二、多解思维

思维角度1：利用三角形的面积公式表示出ac，结合余弦定理将a2+2b2+c2转化为相应的三角关系式，利用关系式 的几何意义，借助直线与圆的位置关系，通过平面解析几何方法加以数形结合，利用直线与圆的相切并结合点到直线的距离公式来确定其最值情况，进而得以求解代数式的最小值.

解法1：由△ABC的面积S=acsinB=2，可得，结合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac·表示单位圆x2+y2=1（x＞0）上的点P（sinB，cosB）与定点A（ 0）的连线的斜率.

结合图形可知，当直线PA与单位圆x2+y2=1（x＞0）相切时，直线PA的斜率取得最大值，此时设直线PA的方程为＜0），即2kx-2y+3=0，则有解得

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案：

思维角度2：通过建立平面直角坐标系，确定A、C点的坐标并设出点B的坐标，利用三角形的面积公式确定点B的纵坐标，并利用两点间的距离公式的应用与转化得到a2+2b2+c2的关系式，通过转化并结合不等式的性质加以放缩变形，然后利用基本不等式来确定相应代数式的最小值即可.

图2

解法2：以AC所在直线为x轴，AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示，则），设B（x，y）（不失一般性，假定y＞0）.

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案

思维角度3：利用三角形的面积公式表示出ac，结合余弦定理将a2+2b2+c2转化为相应的三角关系式，利用关系式来设置对应的参数k，结合分式的转化并利用三角函数的辅助角公式来确定其最大值，进而求解参数k所满足的不等关系式，代入原不等式中并综合不等式的性质来确定所求代数式的最小值即可.

解法3：由△ABC的面积acsinB=2，可得ac=

结合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac（3-2cosB）

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案：

思维角度4：结合平面几何作图，过点B作BD⊥AC，利用三角形的面积公式得到，并设AD=x，CD=y，结合勾股定理的应用来转化相应的代数式，并结合基本不等式的应用来确定相应的最值，进而得到所求代数式的最小值.利用平面几何法来处理，关键是对相关线段的设置及转化，在这里勾股定理与基本不等式起到非常重要的作用.

解法4：如图3，过点B作BD⊥AC，垂足为D.

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案

思维角度5：利用三角形的面积公式表示出acsinB=4，结合余弦定理将a2+2b2+c2转化为相应的三角关系式，先通过基本不等式得到6ac-4accosB，再利用系数的转化与配对并结合柯西不等式来转化，通过acsinB=4的代入来确定所求代数式的最小值.利用柯西不等式法处理比较简单，但需具备较强的转化意识，特别是相关常数的转化及配凑，具有较高的目的性与熟练的运算技巧，特别是能巧妙地利用系数之间的关系加以处理与应用.

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案：

思维角度6：直接利用三角形结论：已知△ABC的三边分别为a，b，c，面积为S，且x，y，z为正实数，则有xa2+可以非常有效并快捷地解决此类三角形三边的线性平方和关系式与相应的面积之间的不等关系式问题，进而有效地求解相应的最值问题.利用三角形的结论法来进行处理与转化，可以简单快捷地得到相应的结论，但必须增加相关的知识拓展与掌握能力.

解法6：利用三角形的结论：已知△ABC的三边分别为a，b，c，面积为S，且x，y，z为正实数，则有xa2+yb2+zc2≥

由题知S=2，取x=1，y=2，z=1.

利用以上结论可得a2+2b2+c2≥

所以a2+2b2+c2的最小值为.故填答案：

总结：通过以上不同的方法，充分利用平面解析几何、平面直角坐标系、三角函数、平面几何等来进行有效的处理，也可以利用一般性的三角形的结论来处理，从而给解决问题带来了无限的方便与亮点.解决此类问题总的指导思想是可以从“数”的角度入手，利用三边代数式的转化，进而利用基本不等式以及解三角形中的相关公式来处理与应用；还可以从“形”的角度入手，以解三角形为基本切入点来进行转化，并结合平面几何的性质、平面解析几何等数形结合思想来处理与应用.F