一道数学文化试题及其变式赏析

2019-08-03湖北省襄阳市第一中学

中学数学杂志 2019年13期

☉湖北省襄阳市第一中学王勇

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”中有一题：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何.”该题就是已知三角形的三边长，求三角形的面积《.数书九章》给出的解法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”写成公式形式就是△ABC的面积其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c.这个公式中的三斜具有“对称性”，a，b，c只要分别表示三角形的三边即可，不一定专指大斜、中斜与小斜.

下面给出一道以此为背景的数学文化题及其若干变式题，供同行们品味其中的韵味.

问题（2018·石家庄市模拟题）南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式“：以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”（即△ABC的面积其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a＞b＞c）并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为（）.

A.82平方里 B.83平方里

C.84平方里 D.85平方里

分析：认真阅读弄懂题意，直接代入“三斜求积”公式计算即得.

解：由题意知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积=84（平方里）.故选C.

变式1：（2018·武汉市调考题）（背景材料及公式同问题）.若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）.

分析：由a2sinC=4sinA及正弦定理（化角为边）可得ac=4，由（a+c）2=12+b2可得a2+c2-b2=4，整体代入“三斜求积”公式计算即得，与问题相比，难度略增.

解：根据正弦定理，由a2sinC=4sinA，得ac=4.

再结合（a+c）2=12+b2，得a2+c2-b2=4，

故选A.

变式2：（2018·南宁市模拟题）（背景材料及公式同问题）.若a2sinC=24sinA，a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）·sinA，则用“三斜求积”公式求得的S=（）.

分析：由a2sinC=24sinA及正弦定理（化角为边）可得ac=24，由a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）sinA及正弦定理（化角为边）可得a2+c2-b2=27，整体代入“三斜求积”公式计算即得，与变式1相比，难度略增.

解：根据正弦定理及a2sinC=24sinA，得a2c=24a，即ac=24.根据正弦定理及a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）sinA，得a（c-b）（c+b）=（27-a2）a，即a2+c2-b2=27，

变式3：（2018·益阳市、湘潭市调考题）（背景材料及公式同问题）.现有周长为的△ABC满足sinA∶sinB∶sinC=（-1）（∶+1），用上面给出的公式求得△ABC的面积为（）.

分析：由sinA∶sinB∶sinC=（+1）及正弦定理可得a∶b∶c=（+1），结合三角形的周长可求出三角形的三边，再代入“三斜求积”公式计算即得，与变式2相比，难度又增.

变式4：（2018·济南市模拟题）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积S=，此公式也被称为海伦——秦九韶公式，之所以用我国古代数学家秦九韶的名字命名，原因在于秦九韶曾提出“三斜求积术”，即三角形的面积，该公式的本质与海伦——秦九韶公式相同，现有一个三角形其周长为16，且其中一边长为6，则此三角形的面积的最大值为（）.

A.10 B.12 C.14 D.8

分析：鉴于“三斜求积”公式与海伦公式是完全等价的，本题利用海伦公式及基本不等式求解更方便快捷.

解：设三角形的三条边长分别为a，b，c，由题意，不妨设c=6，则a+b=10，所以S=4×当且仅当8-a=8-b，即a=b=5时，此三角形的面积最大，最大值为12，故选B.

变式5：（2018·襄阳市调考题）（背景材料及公式同变式4）.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=6，c=2b，则其面积取最大值时，sinA=（）.