解几的试题 平几的本质——平面几何性质在高考中的应用

广东

解析几何是用代数方法研究几何问题，解析法偏重于对相关量的数量关系的研究，由于代数运算比较复杂，对运算能力要求较高，往往使很多学生对解析几何题望而生畏，束手无策.事实上，解析几何问题的本质仍是几何问题，若能充分把握解析几何中图形的特征，挖掘图形相应的几何性质，恰当地运用平面几何的相关知识进行求解，往往能简化运算，优化解题过程，能起到四两拨千斤的功效.

通过对近几年高考全国卷的分析，可以发现平面几何的解题思想在高考的解析几何题中有着重要的作用.本文以近两年圆锥曲线的高考题为例，展示了从平面几何的视角解答解析几何问题，抛砖引玉，供大家参考.

一、与平行线相关的几何性质

1.梯形的中位线定理

例1(2018·全国卷Ⅲ理·16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°，则k=________.

解答:如图所示，设AB的中点为E，过点A,B,E分别作准线l:x=-1的垂线，垂足分别为A1,B1,H.设A(x1,y1)，B(x2,y2),E(xE,yE).

由梯形的中位线定理与抛物线的定义可得

同时点M(-1,1)在抛物线的准线l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

2.平行线分线段成比例定理

(Ⅰ)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(Ⅱ)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅱ)不难发现点M是椭圆的右准线x=2与x轴的交点，所以可以用椭圆的第二定义来证明.

当直线l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当直线l与x轴不重合时，如图所示，过点A,B分别作准线x=2的垂线，垂足分别为C,D，则有AC∥BD∥x轴.

所以△ACM∽△BDM，可得∠AMC=∠BMD，即有∠AMO=∠BMO.

评析:以上两例都是以直线和圆锥曲线的相交关系为背景，若用解析法组成方程组求解，运算量较大，较难顺利地得出结论.例1利用梯形的中位线定理与抛物线的定义，例2利用椭圆的第二定义与平行线分线段成比例定理，都充分应用了平面几何中“平行线”的相关知识进行解题，极大地简化了运算，且解法简单、优美.

二、与三角形相关的几何性质

1.等腰(等边)三角形的性质

( )

2.直角三角形的性质

( )

在Rt△OMN中，∠ONF=90°-60°=30°，

在Rt△OMF中，|OF|=2，∠MOF=30°，所以|MF|=1，

在△ONF中，∠ONF=∠NOF=30°，所以|NF|=|OF|=2，

所以|MN|=|MF|+|NF|=1+2=3，故选B.

3.相似三角形的性质

例5(2017·全国卷Ⅱ理·16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=________.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程；

解答：(Ⅰ)略.P的轨迹方程为x2+y2=2.

由①+②得(m+n)2+m2-n2=6，即m(m+n)=3.

评析：三角形虽然是简单的图形，但有很多的几何性质，特别是在特殊的三角形中，如等腰三角形的三线合一，等边三角形的三边相等、三角相等，直角三角形的勾股定理，边角关系和相似三角形的对应边关系等.熟练运用三角形相关的几何性质可以巧妙避免“解析法”带来运算上的困难.

三、与圆相关的几何性质

1.垂径定理

2.相交弦定理

例8(2017·全国卷Ⅲ文·20)在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

(Ⅰ)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(Ⅱ)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

(Ⅱ)设过A，B，C三点的圆与y轴相交于另一个点D(点D在x轴的下方)，根据相交弦定理得|OC|×|OD|=|OA|×|OB|，即有1×|OD|=-x1x2，所以|OD|=2.因此过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|CD|=|OC|+|OD|=1+2=3，是定值.

评析：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，蕴藏着诸多的几何性质，常见的性质有：直径所对的圆周角为直角、垂径定理、切线长定理、切割线定理和相交弦定理等.对于解析几何中涉及圆的问题，若能联系题中的几何要素，灵活运用圆的几何性质，解题往往能事半功倍.如例8中的问题(Ⅱ)用到了圆的相交弦定理，思路巧妙，解法简单快捷，相比于解析法，极大地减少了运算量.

四、小结反思

解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法(解析法)解决几何问题，解题过程常常会出现繁杂的推理与运算.在平时的学习中，我们也往往偏重于对相关量的数量关系的研究，习惯于代数的推理过程，而忘记解析几何的本质是“几何”这一重要特征.