割补法在三视图还原空间几何体中的应用

安徽

三视图是高中新教材新增内容，也是高考的常考知识点.不难发现，由三视图还原几何体的试题常考不衰，且其载体的复杂程度呈增长之势，特别是以简单组合体为载体的试题备受命题专家青睐.虽然很多学生能将“长对正，高平齐，宽相等”烂记于心，也对简单几何体的三视图了如指掌，但处理这类问题时仍力不从心，无法可解，甚至不少教师的讲解和很多资料的答案往往是直接告知是什么几何体，而不做详细解释.笔者经过深入研究，发现割补法(对三视图进行分割或修补)不但能有效处理复杂的三视图还原几何体问题，且简单易行，直观明了.

1.合理分割，各个击破

【例1】(2015·重庆卷文·5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

( )

正视图

左视图

俯视图

正视图

左视图

俯视图图1.1

正视图

左视图

俯视图图1.2

【例2】(2014·安徽卷理·7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

( )

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

C.21 D.18

正视图

侧视图

俯视图图2.1

正视图

侧视图

俯视图图2.2

正视图

侧视图

俯视图图2.3

图2.4

【评述】在“长对正，高平齐，宽相等”的前提下，可将一些复杂的三视图分割成若干个熟悉的几何体或简单几何体的三视图，后将所得的那些几何体进行符合题意的组合，即可得到所求的几何体.

2.恰当修补，无中生有

【例3】(2014·重庆卷理·7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )

正视图

左视图

俯视图

A.54 B.60

C.66 D.72

正视图

左视图

俯视图图3.1

图3.2

【例4】(2012·湖北卷理·4)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

( )

正视图

侧视图

俯视图

正视图

左视图

俯视图图4.1

图4.2

【评述】本着“长对正，高平齐，宽相等”的原则，可将有些三视图修补成一个简单几何体或熟悉的几何体的三视图，然后在所得的几何体上进行恰当的添补或裁剪，直到得到符合题设的几何体.

3.割补合用，双管齐下

【例5】(2014·辽宁卷理·7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

( )

主视图

左视图

俯视图

A.8-2π B.8-π

正视图

左视图

俯视图图5.1

正视图

左视图

俯视图图5.2

正视图

左视图

俯视图图5.3

【评述】有些三视图还原几何体的问题，可对三视图进行分割和修补，这样能有效地转化为熟悉的几何体的三视图，但是一定要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，否则对后续几何体的确定极其不利.