存在无穷多对差为2的素数

2019-08-02于新堂

科学大众·教师版 2019年11期

关键词：素数合数奇数

于新堂

摘要：本文找到并证明了“素数倍数的分布规律”，以此为前提，推证出了“存在无穷多对差为2的素数”。

关键词：素数倍数; 素数倍数的分布规律

中图分类号：O413 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2019）11-037-001

素数倍数的分布规律：任一素数的倍数项在自然数列中占有的比例等于素数自身值的倒数。（《科学大众》972期56页）

自然数列中包含任意素数的倍数项子数列，例如，包含素数2的倍数项子数列为2，4，6，8，10，12，……

任一素数的倍数项子数列中又包含其它任一素数的倍数项子数列。例如素数2的倍数项数列中又包含素数3和素数5等所有除2以外的素数的倍数项子数列。

引理包含于任一素数的倍数项子数列中的其它任一素数的倍数项的比例，等于被包含素数自身值的倒数。

证明任一素数pj的倍数项子数列中，包含其它任一素数pi（i[≠j]）的倍数项，且从前至后每隔项都必有且仅有一项pi的倍数项，因此，包含其它任一素数pi的倍数项的比例[ηpi=1pi]

如果从自然数列中去除任一素数的倍数项，则由于去除的任一素数的倍数项子数列中包含的其它任一素数的倍数项的比例，与自然数列中包含的每一相同素数的倍数项的比例相同，都等于被包含素数值的倒数，因此，剩余数列中所包含的未被去除的任一素数的倍数项的比例保持不变。因此有

推论1 奇数数列中包含2以外的任一素数的倍数项的比例，等于该被包含素数值的倒数。

但在奇数数列的前有限项所组成的奇数有限数列中，由于从自然数列中去除偶数的不对称原因，就使得有限项奇数数列中所含任一奇素数的倍数项的比例并不严格的等于[1p1]。但当数列的最后一项是某一素数的倍数项时，含有该素数倍数项的比例最大，此时，若含有素数pi的合数倍数项的项数为tpi，则总项数应为[12]（pi+1）+tpi，于是数列中含有pi的合数倍数项的比例为[ηi=112（pi+1）+tpi][<][1p1]

因此得推论2 奇数数列的前有限项中，所包含的2以外的任一素数的合数倍数项的比例小于被包含的素数值的倒数。

有了以上推论，就可以证明如下命题：

命题存在无穷多对差为2的素数。

证明将奇数无穷数列

1，3，5，7，……2n-1……

从前至后每2项合并为一对，形成奇数对无穷数列

（1，3），（5，7），（9，11），……（2n-1，2n+1），……

由推论2可知，前有限对奇数对中，包含任一素数倍数合数的奇数对占有的比例，小于[2pi]，设N为4n型偶数，N以内奇数所组成的有限奇数对数列

（1，3），（5，7），（9，11），……（N-3，N-1）中含有[N4]个奇数对，所包含的任一素数合数倍数的奇数对占有比例一定小于[2pi]，很显然，若按[2pi]的比例筛除所含所有素数合数倍数的奇数对，属于超量筛除，若筛除后再减去第一对含有1的奇数对，则剩余未被筛除的奇数对就一定是素数对。

设N以内实际含有素数对的个数为[π2（x）]，显然有[π2（x）][>N4]·[i=2x]（1-[2pi]）-1

因有[i=2x]（1-[2pi]）[>] [m=112（Px-1）]（1-[22m+1]）=[1px]

其中Px[<N]，为最大筛除素数。