从“分”蛋糕到认识“分数”

周涤尘

《分数的初步认识》一课，是小学阶段数学学习中第一次接触分数，是小学生对数概念的一次扩展及飞越。从整数到分数，不只是数的形式发生了变化，更重要的是学生对于数的意义的理解将有进一步的深入。原有认知中的除法，都是把一个整数平均分成几个整数（如4÷2=2），而本课中，学生将面对无法用整数来表示的情况，实现自我思维的突破，即可以使用分数（如1÷2=？）来表示一个具体的数量。教材紧扣“平均分”概念引入问题，指导学生认识半个就是二分之一个，从而引出分数。为了进一步感受分数的意义，教材编排了“折二分之一”“看图写分数”等活动，将视角聚焦在“什么时候用怎样的分数表示”，以期使学生从直观认识上初步体验到分数首先来源于平均分，分母、分子各表示平均分的份数与其中的一份。教材编排中，一方面注重学生的直接经验与操作思维相结合，借助问题（练习）引导学生丰富对“分数”意义的理解，围绕“平均分”“其中的一份”等关键词展开认识;另一方面，注重体现认知对比，围绕“为什么涂色部分都可以用1/2、1/4来表示”等，突出对分数意义的抽象体验。

一、“分”蛋糕，用生活的眼光分析问题

谈话：同学们，还记得我们前段时间的秋游吗？瞧，明明和芳芳今天也去秋游了，从图中你们发现他们两个带了哪些物品呢？

生：四个苹果，两瓶水，一块蛋糕。

师：真聪明，接下来明明和芳芳决定平分这些食物，我们一起来看看，把每种食品平均分给两个人，怎么分比较合理？每人能分得多少个苹果？分到几瓶水呢？

生：2个苹果，1瓶水。

师：现在还剩下一块蛋糕了，只有一块蛋糕，蛋糕平均分给两个人，每人能分得多少呢？

生：一人一半，二分之一个，半个。

师：应该怎么分？

生：平均分。

师：这个时候每个人都能分到半个，半个也就是二分之一个，数学中我们把一块蛋糕平均分成两份，每一份就是二分之一个。我们用二分之一来表示。二分之一在数学上我们称它为分数，那么我们今天就一起来认识像这样的分数。（板书： 认识分数 ）

[设计意图]：“半个”是学生能够通过生活经验获得的，而二分之一是学生生活经验数学化的成果，让学生产生认知矛盾，一方面可以唤醒学生“平均分”的生活经验，另一方面可以让学生体会到要想用分数表示必须做到平均分。而教师则可以借助直观演示，帮助学生在“生活经验”和“数学认知”之间进行转换，体现数学和生活是密不可分的，这么做可以让学生拓展数的概念，激發学生学习分数的内在动机。

二、识“分数”，探索“分数”的实际意义。

1.说二分之一

师：像刚才那样，把这块蛋糕平均分成两份，每份就是这块蛋糕的二分之一。也就是它的二分之一，写作1/2，所以，当我们把这块蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，这一部分就是这块蛋糕的1/2。现在大家能像老师这样自己说一说吗？

生：把这块蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，这一部分就是这块蛋糕的1/2。

师：右边这一份是这块蛋糕的1/2，那左边这一份我们可以怎么表示呢？

生：也是它的二分之一。

师：为什么左边这块也是这块蛋糕的1/2呢？

生：因为我们是把这块蛋糕平均分成了两份。其中的一份，就是它的二分之一。

2.折二分之一

师：这一份表示这块蛋糕的1/2，这一份也表示这块蛋糕的1/2，我们在解决这个问题的过程中，就是把这块蛋糕平均分成2份，表示其中的一份，就可以用1/2来表示。刚才大家通过分蛋糕来找到，现在老师也为大家准备了一些图形，你能在这些图形上也找到1/2吗？

活动要求

折一折：你能用对折找到长方形纸，正方形纸，圆形纸的二分之一吗？

涂一涂：再用涂色的方法表示它的二分之一。

说一说：再和同桌说一说哪一份是它的二分之一。

学生操作活动，找到每种图形的二分之一，并开展小组合作交流。教师收集相关资源。

教师出示学生找到的各种图形（正方形，圆，长方形）的二分之一，交流：

师：这些图形我们都可以用1/2来表示吗？

生：能。

师：为什么这些图形形状不同，但是都可以用1/2来表示呢？先跟自己的同桌说一说。

生：因为这些图形都被平均分成2份，所以其中的一份就是二分之一。

师：老师也把这些图形分了一分，我们看看这些图形是怎么分的？

生：平均分成3份

师：涂色部分我们又可以怎么来表示呢？为什么？

生：1/3，因为这些图形都平均分成了三分。

[设计意图]：学生结合生活情境初步接触二分之一后，对于分数的认知水平仍处于不清晰、不全面的状态，似懂非懂的状态，正需要教师借助活动加以指导，因此这个时候设计学生通过自己动手去寻找二分之一，凸显数学教学最本真的追求。体现新课改中以学生为主的新型教学理念。引导学生独立思考、积极探索、生动活泼地学习，提高分析问题、解决问题能力。不仅让学生用脑子去想，而且要用手操作，用心观察，从而达到有效的数学学习的目的。

3.找正方形的1/4

师：现在大家都在一块蛋糕上找到了1/2，也在长方形，正方形，圆形上找了他们的1/2和1/3。那现在大家能找到这张正方形纸的1/4吗？请大家折一折，把折痕划粗，同时划上阴影，写好分数。

学生动手操作，找到正方形的1/4。教师展示学生作品。

师：这几种折法找到的图形都不相同，它们都可以用1/4表示吗？为什么？

生：因为它们都是被平均分成四份。

师：我们分别找到了正方形的1/2，1/3和1/4，为什么图形都相同，但涂色部分表示的分数却各不相同？

生：因为第一个被平均分成了2份，第二个被平均分成了3份，第三个被平均分成了4份。

师：是啊，分数各个部分都有自己的意义。像刚才分蛋糕时找到的1/2，“平均分”就用这条横线表示，我们把它叫做分数线，平均分成2份的时候我们就在分数线下面写上2，这个2表示分的份数，我们称它为分母，当我们要表示其中的一份的时候，我们就在分数线上面写1，1就叫做分子。写分数时的顺序就是要先写分数线，再写分母，最后写分子。（学生伸手跟老师一起写一遍。）

师：现在你能跟同桌说一说分数各部分表示的意思了吗？

师：所以说把这张纸平均分成几份，表示其中的一份就是它的几分之一。

[设计意图]：在分数的认识中，重点是要学生理解分数的意义，借助动手操作是理解概念的有效方式之一。在本环节的设计活动中让学生充分去理解“当一个物体被平均分成几份，表示其中的一份就是几分之一”的分数概念，丰富内涵的的拓展和延伸，体现教材的重点和难点。类比迁移，展开第二次的求同比较（图形不同，为什么涂色部分都是它的1/4？），使学生进一步感受单位“1”是什么并不重要，关键是“平均分成了几份”和“表示这样的几份”才是分数的最本质的内涵。当学生理解了分数所表示的意义的时候，后续有关分数的知识就会水到渠成。

三、比“分数”，感知分数大小。

师：通过刚才的学习，我们已经认识了分数，那么我们现在一起来做个游戏，老师为大家准备了两个大小相同的圆片，你能很快找到它们的1/2和1/4吗？

出示活动要求：

找一找：请大家通过涂色的方式在一个圆上找到它的二分之一和四分之一。

比一比：观察，比较，哪个分数大？为什么？

说一说：和同桌说一说自己的想法。

学生活动，教师收集资源。

師：我们来比一比，1/2大还是1/4大？

生：1/2大于1/4。

师：老师帮大家找到了1/8，大家看一看，是1/8大还是1/4大呢？

生：1/4大。

师：当我们平均分的份数越多的时候，每份就怎样？

生：每份就越小。

师：我们发现当我们平均分的份数越多时，每份就真的越小。

[设计意图]：本环节在初步认识分数的基础上，学生直观比较两个分数的大小一般不会有困难。教师通过在屏幕上直观展示，让学生充分发现二分之一和四分之一的大小，从而发现比较大小时的方法。这既是对教学分数的大小比较，同时也是对几分之一的含义的进一步认识。

（第一块黑板）

（第二块黑板）

【教学思考】

一、借助生活平台，引导自主探究。

儿童数学源于生活，并由生活经验进行抽象，形成个人知识及经验。本课的分数初步认识，是学生第一次接触分数，所以对于学生而言，形成分数概念十分重要，于此，本节课教学中，教师站在学生思维认知的角度上思考儿童的形象化认知，主动有意义地理解分数。由于“分”东西是学生现实生活中的真实事件，既简单又贴近生活，因此，孩子能够根据生活中的经验理解“一人一半”，即平均分的过程;1个蛋糕可以怎样分呢？由于“蛋糕的一半”无法用学过的自然数来表示，矛盾冲突中学生自然而然就产生了要用一个新的数来表示平均分的结果的需要。

二、学生动手操作，体验数学建构。

数学方法是学生获取知识、解决问题、建立思维结构的有效工具，让纸上的图形跳跃起来，才能让学生欣然领悟。给学生提供广阔的时间和空间才能体现“动手操作、自主探索和合作交流”的数学学习方式。所以本节课的动手操作环节较多，同时也为学生准备了丰富的学习材料。通过让学生自己动手去寻找长方形、正方形、圆形纸片的1/2、1/3，让学生在动手操作中充分认识到几分之一的重要性，同时加深“平均分”的概念。

三、联系生活实践，感悟数学生活。

数学认知结构来源于数学知识的结构，因此，数学学习的重点不仅仅是对概念的理解和掌握，更重要的是建立起概念间的联系，使知识系统化、结构化，形成数学知识结构。教师在日常教学工作中，应当充分从学生的生活经验入手，逐渐转化为新的知识和概念，正如本节课中从“分蛋糕”到“分数”，从生活经验转化成一种新的数，学生学起来才会动力十足，有滋有味。

（本文为常州市立项课题《基于小学生探究能力培养的体验性学习策略研究》的阶段研究成果。）

（常州市荆川小学）