从向量的坐标化策略谈起

王洪莲

摘要：高中数学的课堂教学中，时常需要安排一些习题课。本文從向量的坐标化策略入手，通过课程设计的过程，阐述针对初接触高中数学的学生，设计习题课的横向与纵向思考角度。

关键词：向量坐标化策略;建系;转化与划归

平面向量，作为有向线段而言，涉及到的问题主要还是几何图形中的线段长度、夹角大小、图形面积等问题。所以，向量问题的解决策略之一还在于基底化向量。

整个高中知识中，与坐标相关的除了解析几何方面，还有空间向量。这两个方面，对于建立恰当的坐标系与坐标运算都有一定的要求。设计一节习题课，让学生初识坐标法，体会解决问题的几个过程。而通过数学建模，把向量问题转化为函数问题，求解其中的最值，又是让学生体验数学建模过程的一个很好的经历。

这节课，我决定把课堂内容设定为：两种策略对照----合理建系探究----常见点坐标处理----引入变量，建立数学模型----尝试应用这样几个过程。

一、策略对照，引入课题

在日常教学中我多注重对学生的逻辑表达进行培训。鼓励他们主动到讲台上讲解自己的思路。这样的过程会让学生在表达的过程中逐步清晰思路，同时也学习一类问题的思考方向。这次我依然准备设计两个作业题目，其作用首先是通过作业中基底化方法解决问题，允许学生进一步思考其他方法，从而在比较中引出坐标化向量这一策略。另外，可以通过两个策略的比较，分析每一种策略更适合哪类问题。第二个作业题一方面是完成基底化讲析，更重要的是在策略分析结束之后，返回来应用新策略解题，从而进一步体会两种策略的对比。

把向量来作为基底，基底化向量，可以计算得出结论。考虑到向量之间互相垂直关系，引导学生联想到直角坐标系。设计几个设问问题：你准备怎样建立直角坐标系？其中关键点的坐标分别是什么？你觉得这样坐标化向量解决问题，需要哪些过程？

已知条件中给出的模长与夹角，以这两个向量作为基底，比较容易进行计算。

二、观察判断，合理建系

在这一部分设计中，我想让学生形成一定的常规认识，了解针对图形特征怎样建立直角坐标系比较合理，有助于计算。初期设计四个问题，其中包括已经存在垂直关系，寻找垂直关系，多位置建系选择，高频点作为坐标原点的选择方式。斟酌之后，发现引例特别适合作为垂直关系的说明，于是引例1又有了另一个作用，提示学生建系选择在A点的原因。此间设计了余下的三个问题，实际操作过程中发现学生把专注力转移到了对问题的计算中来，冲淡了对建系合理性判断的探讨。所以我在其中提出一个要求：根据已知条件分析建系方法，并且验证自己的合理性，不需要计算最后结果。

在这个三角形中，有D和B两个点是学生常选作原点的位置，引导学生针对这两个点作为原点的区别进行分析。其合理性分别在于D点作为原点，则多个点都位于坐标轴上，而B作为坐标原点，则题目中所有与B相关的向量坐标与终点坐标相同。学生可以通过计算点的坐标分析其中的合理性。同时，也提示学生，观察每一个相关点的坐标求解是否可行可以作为建系方式是否恰当的一个判断依据。

这是一个相似模型，学生容易想到找中点去建立直角坐标系。但是，在求点和向量的坐标时候，又会看到几个向量的坐标求解并不是十分方便。进而转移到以C为坐标原点建立坐标系。因为C在题目中属于高频点，作为原点易于计算，这也可以作为建系的一个合理性标准。

综上，可以得到几个常见建系合理性判断标准：依据已经存在的垂直关系;寻找隐藏的垂直关系;把大多数点放在坐标轴上;把出现高频点作为坐标原点。

建系及相关点的坐标解决了之后，把对引例2的坐标化在此处回归求解。学生已经可以对问题进行建系、写点、求值几个简单过程进行分析求解。这个问题可以针对A与D作为坐标原点的异同进行分析，引发讨论，拓宽学生的视野。

三、引入变量，转化问题

在建立直角坐标系之后，仍然会有问题对学生造成困扰，比如引入什么样的变量比较适合。

首先就是圆上点的变量引入方法。

探究小问：圆心在原点O的单位圆上一点A，点M，求的取值范围.

在这个问题中，坐标系已经存在，不需要建立坐标系。而点A的坐标如何设，就涉及到后面要求的问题取值范围能否顺利求解。设A（x，y），其中存在关系式，其中含有x、y两个变量，这在后面求解取值范围的时候是学生不很熟悉的范畴。联想到三角函数的定义，在定义中有角的终边与单位圆的交点表示方法（）。把要求的向量模长问题转化为求三角函数的值域问题就比较为学生所知了。设计这样一个小问题，来探讨引入角作为变量求解取值范围时候的优势所在，让学生在没有学习参数方程知识的时候，对引入角变量有一个初识，这也为后面的最值求解埋下一个伏笔。

通过这个问题的求解，使学生初步体会数学建模的一般过程。

课程小结：坐标化向量策略适合于那些问题？坐标化与基底化在方法上各有哪些优势？

本节课学习过程中，应用了哪些数学方法？涉及到哪些思想？

关于数学习题课的设计，我有几点反思。其一，层层递进，让学生够得着，有的想。尽量避免把初等数学高深化。其二，为学生设计讨论与思考的内容，引导学生成为主体。其三，习题课注重知识点上的瞻前顾后。浅尝辄止的安排一些即将学习到的知识，在这样一些习题中解决掉后续问题中的某一些难点，这将会给学生很多时间进行消化，也在接受新知识的时候没有陌生感。

高中数学的学习是一个潜移默化、螺旋递进的过程。进行数学教学多年之后，慢慢的发现，课堂教学不需要很深刻的理论，而更加需要从学生的认知出发，站在学生角度共同学习探究。

参考文献：

[1]洪丽敏.平面向量解题的两大策略[J].数学教学研究，2011，30（12）：34-36.

[2]董成勇.高中生学习空间向量的困难和相应的教学策略[D].华东师范大学，2007.