空间直角坐标系的建系策略

潘敬贞 唐明超

摘 要：建立坐标系是代数方法解决几何（空间）问题的桥梁，建立合适的空间直角坐标系是快速解决问题的关键，本文结合实例主要从基于共顶点的三条互相垂直、线面垂直、面面垂直、正棱锥的高所在直线等四个方面谈空间直角坐标系的建系策略.

关键词：空间;直角坐标系;建系;策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0070-03

坐标法是解决立体几何问题的重要方法，借助坐标法可以将空间几何问题转化为代数问题，既可以降低几何问题的抽象性，同时也为解决实际问题开辟了一条新的途径.用坐标法解决空间几何问题，首先需要合理建立空间直角坐标系.建立空间直角坐标系的过程就是根据问题给定的空间几何关系在几何图形中寻找三条两两互相垂直的直线，通过平移等方式让三条直线交于一点，并尽可能的让与问题相关的点落在坐标轴上，使得相关点的坐标更易求，使得问题的求解更加简洁、高效.文章结合实例谈建立空间直角坐标系的策略.

一、基于共顶点的三条互相垂直的棱建系

例1 如图1，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=BD=4，E，F分别为棱BC，AD的中点.

（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值;

（2）求点E到平面ACD的距离;

（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值.

解析 如图2，以B为坐标原点，分别以BC，BD，BA所在直线为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则依题意得，B（0，0，0），A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2）.

（1）经坐标运算易知AB=（0，0，-4），EF=（-2，2，2），因为两异面直线所成角的余弦值与两直线的方向向量所成角的余弦值绝对值相等，所以可以根据数量积公式求得两异面直线所成角的余弦值为

|cos<AB，EF>|=|AB·EF|AB||EF||=|-84×23|=33.

（2）点到面的距离等于该点到该点在平面上的投影两点间线段的长度，设平面ACD的一个法向量为n=（x，y，z），则n·AC=0n·CD=0，因为AC=（4，0，-4），CD=（-4，4，0），所以4x-4z=0-4x+4y=0，令z=1，得x=y=1，所以n=（1，1，1）.

因為F∈平面ACD，EF=（-2，2，2），所以E到平面ACD的距离为d=|n·EF|n=23=233.

（3）设EF与平面ACD所成角为θ，则θ与直线EF与平面的法向量所成的角互余，进而求线面角可以转化为求直线EF与法向量所成的角，借助坐标运算实现几何问题代数化，所以，sinθ=|cos<n，EF>|=|n·EF||n||EF|=23×23=13，所以EF与平面ACD所成角的正弦值为13.

评注 本题虽然解法较多，但是坐标法解题具有较强的直观性，可以有效降低几何问题的抽象性.在解决立体几何有关问题时，如果已知条件中有三条直线两两互相垂直，则可以通过建立空间直角坐标系用坐标法来解决.当然，在考题中，已知条件中有三条直线两两互相垂直的情况比较少见，更多是利用图形的特点与性质作出两两互相垂直且交于一点的三条直线来建立空间直角坐标系.

二、基于线面垂直关系建系

例2 如图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，F是PC上的点.

（1）求证：平面AEF⊥平面PAD;

（2）若M是PD的中点，当AB=AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.

解析 （1）证明：连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60.，则△ABC是正三角形，因为E是BC中点，所以AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.

（2）由（1）得AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，分别以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系;不妨设AB=AP=2，则AE=3，则

A（0，0，0），C（3，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），M（0，1，1），设PF=λPC，则F（3λ，λ，2-2λ），所以EM=（-3，1，1），AE=（3，0，0），AF=（3λ，λ，2-2λ）;设m=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则m·AE=0m·AF=0，所以3x=03λx+λy+（2-2λ）z=0，取z=λ，得m=（0，2λ-2，λ），设直线EM与平面AEF的所成角为θ，得sinθ=|cos<EM，m>|=|EM·m|

|EM|·|m|=|3λ-2|5·（2λ-2）2+λ2=15，化简得10λ2-13λ+4=0，解得λ=12或λ=45，所以，存在点F，使直线EM与平面AEF的新成角的正弦值为15，此时，PFPC为12或45.

评注 若题目已知条件中有某一条直线与某个平面垂直，则一般把该条直线作为一条坐标轴建立空间直角坐标系.第（1）题用几何法证明较容易，可以在第（1）题的基础上顺利的建立合理的空间直角坐标系实现对第（2）题的解答.对于第（2）题，如果采用几何法来解决，难度较大，抽象性较强，明显不是最好选择.

三、基于面面垂直的性质建系

例3 如图5，等边三角形PAC所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB=AD=DC=2，BC=4.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

解析 （1）证明：取BC中点M，连接AM，因为四边形AMCD为菱形，所以有AM=MC=12BC，所以AB⊥AC，因为AB平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，所以AB⊥平面PAC，又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

（2）方法1 由（1）可得AC=23，取AC中点O，连接PO，则PO⊥AC，PO=3，因为PO平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.又因为M、O分别是BC、AC的中点，所以OM∥AB，又由（1）知AB⊥AC，所以OM，OC，OP两两互相垂直，所以以O为坐标原点，分别以OM，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，依题意得B（2，-3，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（-1，0，0） ，BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），设平面BPC的法向量为n1=（x，y，z），则n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），设平面PCD的法向量为n2=（a，b，c），则有n2·CD=0n2·PC=0，-a-3b=03b-3c=0，不妨取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，结合图5可知，二面角B-PC-D的余弦值为513.

方法2 由（1）可得AC=23，取AC中点O，连接PO，则PO⊥AC，PO=3，因为PO平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.所以，以A为坐标原点，分别以AB、AC为x轴、为y轴，过点A且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建系如图7的空间直角坐标系，依题意得B（2，0，0），P（0，3，3），C（0，23，0），D（-1，3，0），BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），设平面BPC的法向量为n1=（x，y，z），则n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），设平面PCD的法向量为n2=（a，b，c），则n2·CD=0n2·PC=0，代入计算得-a-3b=03b-3c=0，取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，结合图5可知，二面角B-PC-D的余弦值为513.

评注 一般地，若题目已知的图形中有两个互相垂直的平面，可根据面面垂直的性质定理作出两两互相垂直且交于一点的三条直线.如果两个互相垂直的平面中有一个平面已知或已证的两条相互垂直直线，可过这两条直线的交点作该平面的垂线，从而得出两两互相垂直且交于一点的三条直线，如本题第（2）问的解法2.本题第（2）问的解法2建立空间直角坐标系的方法相对解法1的方法更加简洁，是一种不错的建系方法.

四、基于正棱锥的高所在直线建系

例4 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.

（1）求∠DEB的余弦值;

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.

解析 （1）如图8，以V在平面ABCD的射影O为坐标原点建立如图8的空间直角坐标系，其中Ox//BC，Oy//AB，依题意得，AB=2a，OV=h，所以B（a，a，0）、C（-a，a，0）、D（-a，-a，0）、V（0，0，h）、E-a2，a2，h2，所以BE=-32a，-a2，h2，DE=a2，32a，h2，所以cos<BE，DE>=BE·DEBEDE=-6a2+h210a2+h2，所以∠DEB的余弦值为-6a2+h210a2+h2.

（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，所以BE·VC=0，即-32a，-a2，h2·（-a，a，-h）=0，所以32a2-a22-h22=0，所以h=2a.这时cos<BE，DE>=-6a2+h210a2+h2=-13，所以∠DEB的余弦值為-13.

评注 用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系，相关的坐标就容易求出，有关问题也就得到顺利解决.建立空间直角坐标系的方法很多，最关键是能根据已知图形的特点与性质作出两两互相垂直且交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系的原则是尽可能的使相关点落在坐标上，相关点的坐标容易求出.只有善于思考、勤于动手，空间直角坐标系建立的技巧方可熟能生巧，从而提高解题能力.

不同的问题情景中建系的方法可能不同，但是正确建立空间直角坐标系的基础是能够基于问题给定的几何关系找到三条两两互相垂直的直线，很多时候寻找存在三条两两互相垂直的直线或作三条两两互相垂直的直线并不是很困难，如何建系更有利于求出解决问题所需要的点的坐标更为重要、更为关键.文章中所归纳的四种建系方法是解决常见空间几何问题中点线面的位置关系，线线角、线面角、二面角以及点到直线距离等问题所必须掌握的基本思想和方法，需要在不断的练习中加以体会和总结，不断提高数学运算能力和空间想象能力是利用坐标法解决空间几何问题的基础.

参考文献：

[1]陈国林，叶智群.立体几何中的角度会这样考查[J].数理化解题研究，2019（22）：17-18.

[责任编辑：李 璟]