以学生为主体的本原性课堂解题教学

葛建华

摘    要：本原性课堂解题教学注重从学生出发、从知识本原出发，学生带着思考观察、联想，不断在寻求解题思路的过程中接触问题本质，进而形成从问题核心出发解题的思维方式.课堂是开放性的，教师在不确定的课堂中要有敏锐的观察能力，能洞察学生的动态，及时捕捉学生的本原性想法，并迅速做出反应，促成课堂教学的高效性和有效性.

关键词：本原性课堂;解题教学;微专题

解题教学是数学教学的一个重要部分，不教如何解题的数学教学，一定不是真正的数学教学，更谈不上数学教育.解题教学如果让学生抓住问题的本质，那必将提高解题效率，而问题需要教師从学生的思考和理解出发，共同探讨，逐级研究，引导学生思考发现.不可急于求成，为了把题目讲完，而直接挑明问题的本质，缺乏学生的认知，虽然学生“听”懂了，但不能让学生“悟”出其中的道理，对问题的本质也认识不足，而这中间从探求解题到认识问题的本质才是最重要的，才是“授人以渔”的途径.

一、“本原性课堂”解题教学的基本要素

（一）“本原性课堂”解题教学的内涵

“本原性课堂”是指以探寻数学概念或数学问题的本质为目标的数学课堂，数学问题的本质是对学生而言的，是从学生角度理解的本质，而并不是教师或专业学科领域的本质属性.“本原性课堂”中的解题教学是站在学生角度探求问题的解决思路，通过学生独立思考和师生互助探寻问题的本质，感悟问题的本质，进而引导学生形成抓住问题核心的解题教学.

（二）“本原性课堂”解题教学的一般模式

首先，必须给学生一定的时间独立思考、尝试解题.其次，将学生的各种解法或想法进行交流，包括思路是如何得到的.若学生没有什么想法，教师要进行适当的引导（主要引导学生分析已知、抓住所求往回探寻、结合已知与所求找联系等），再让学生提出自己的想法，结合众家之长寻求解题思路，其间教师和学生都可以针对教师或学生提出的某个想法进行反驳或推进，在解题探究过程中学生也可以提出新问题和想法，不仅局限于变题，也可以是创新的想法，不妨称作本原性想法 [1].再次，师生共同总结解决问题的思路与方法，比较多种解法的优劣，并归纳问题的本质属性.最后，对课堂中教师或学生提出的新问题作一点分析，由教师布置给学生课后继续探讨，并形成对应的微专题，以供后续学习和探究.

（三）“本原性课堂”解题教学的实践价值

“本原性课堂”解题教学使得数学教学不再是日复一日地重复某种固定的模式.“本原性课堂”把人带入一个追求本质、回归本原的境界，体味教师的数学观、教师对数学教学和数学课程的理解与开发，帮助学生重视观察与分析，从自己学习数学的认知角度和学习背景出发，在数学“实践”中把握数学本质，回归本原围绕问题的核心解题，增强学习数学的兴趣，培养学生的理性思维，“学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”[2]，从而提高学习的效果，优化学生的知识和思维结构，发展学生的数学素养，为学生的终身良好发展奠定坚实的基础.

二、“本原性课堂”解题教学案例

（一） 揭示问题的本质来源于学生的深入挖掘

案例1   （2014年江苏高考）已知函数[f0（x）=sinxx（x>0）]，设[fn（x）]为[fn-1（x）]的导数，[n∈N*].

（1）求[2f1（π2）+π2f2（π2）]的值;

（2）证明：对任意[n∈N*]，等式[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=22]都成立.

此题考查函数的导数知识，第（1）问比较容易，第（2）问则不容易把握.笔者让学生提前思考解决再和学生进行深入探讨.

师：对于第（2）问大家觉得它考查了什么内容？可以用什么方法来解决？

生1：此题是与自然数有关的命题，我觉得应该可以用数学归纳法证明，但是我没有证出来.

师：方法应该没错，那证明时是哪里出现了困难？这个困难应如何突破？

生2：无法用归纳假设来证明归纳递推，找不到它们之间的联系.因为在由[fk（π4）]推[fk+1（π4）]时，由于[fk（π4）]对[x]求导为零，这样就没法找它们之间的关系，要求导，那必须含[x]才行.

师：对，必须研究含x的函数或相关函数之间的关系，所以本题直接证明该结论是困难的，应该证明什么样的命题呢？

生2：将[π4]换成变量[x]的一个命题，也就是左边变为[nfn-1（x）+π4fn（x）]，但右边[22]应该是与[π4]有关的三角函数，这里需要归纳[nfn-1（x）+π4fn（x）].

及时表扬与鼓励，并让学生归纳，之后发现呈周期变化，而且周期为2，于是学生尝试着证明.经过一段时间后，学生发现很难证明归纳递推，因为[kfk-1（x）+π4fk（x）]绝对值内的函数要对[x]求导，但这时已经很难把握[kfk-1（x）+π4fk（x）]到底等于什么，没法求导.所以有学生提出应该对[nfn-1（x）+π4fn（x）]进行归纳.

这样发现周期为4，故可以找到对[n]来说周期为4的函数，很自然想到正弦函数或余弦函数，于是归纳出来这样一个结论：等式[nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+nπ2）]对所有的n[∈N*]都成立，然后用数学归纳法证明.这里不再赘述，最后令[x=π4]，可得[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=sin（π4+nπ2）]（[n∈N*]）.

所以[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=22]（[n∈N*]）.

学生总结，教师补充：解题时要有用前面问题结论的意识;新问题要学会转化，注意运用辩证思想，如常量[π4]与变量[x]的转化、形与数的转化、动与定的转化等;解题时要学会“知难而退”，就是在难点处要学会重新读题并思考有何“退路”“新角度”，领会到此时无招胜有招.

在总结基础上，教师布置学生课后收集并研究与自然数相关的复合函数导数问题，然后以微专题形式在课堂上师生共同探讨，最后形成微专题《用数学归纳法证明与自然数相关的复合函数导数问题》.

【教法点评】教师让学生提前思考研究，可以提高学生对题目的理解，并发现难点，有利于课堂的继续探讨，课堂上并非让会的学生答题，可追问同一个学生，其他学生也跟着思考并适当补充.让学生在研究题目的过程中从自身的思考出发，发现难点，再和同学、老师一起探讨如何突破.教师引领学生把握问题的本质，从而形成水到渠成、理所当然的一条解题思路，并且领悟此条思路的源头在哪里，为何如此清晰，让学生在学习探究的过程中享受解题的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心.

（二） 自然生成源于带着思考的观察

案例2    （2018年南通二模）在平面四边形[ABCD]中，已知[AB=1]，[BC=4]，[CD=2]，[DA=3]，则[AC·BD]的值为________.

这是一道向量数量积计算题，学生大都用基底法和坐标法，但是真正做出来的并不多，于是共同探讨，首先让做对的学生讲解.

生3：注意到各边长都已知，所以我想向边转化，对角线对应向量乘，可以想到平行四边形法则，但又没有平行四边形，所以我想到取中点，不断用到两个“半平行四边形”转化，解法如下.

解法一：（基底法）如图1，取[BD]中点[O]，连结[AO，CO].

师：很好，联想分析得很到位！还有其他想法吗？

生4：由于边长已知，可以通过建立直角坐标系来处理，为使变量较少，我利用三角函数来表示点的坐标，再用整体思想就可以得到结果了，略解如下.

解法二：（坐标法）如图2，以点[B]为原点，[BC]所在直线为[x]轴建立直角坐标系，则[B（0，0），C（4，0）]，设[A（cosα，sinα）]，[D（2cosβ+4，2sinβ）]，得到[4cosβ-cosα-cos（α-β）=-3]，从而[AC·BD=（4-cosα，-sinα）·（2cosβ+4]，

生5：注意到[AD-AB=CD-CB=2]，可知点[A，C]都在以[B， D]为焦点，实轴长为[2]的双曲线上（如图3），然后只要表示出四点的坐标就可以了.

该生展示了自己的解法（解法三）.在大家惊叹之余，又有学生有想法！（学生的思维火花被迸发出来）

生6：由于此题是各边为定值的形状不定的四边形，而[AC·BD]为定值的问题，可以取特殊情形来求，如使得某个三角形为直角三角形来求边长和角，但感觉运算一下子就复杂了.如果将四边形（图4）再特殊，甚至抽象化，注意[AB+BC=AD+DC=5]，可以将四边形压缩为一条线段（见图5），使得[B，D]在线段[AC]上，虽然不是四边形，但从连续变化和极限角度看，可以用这种特殊情形来求值（解法四）.

师：很好的想法！发现此题为定值问题，所以用特殊化处理，并不简单，于是采用极限思想，将图形由四边形变为线段，似乎不可思议，但合情合理，这种解法很妙.

学生总结教师补充：遇到基本问题，我们要掌握通性通法解题（如解法一、解法二），有时也需要变通，目标意识和变形技巧不能固化，如本题中设点时可以借助定长引入三角函数，简化问题，解法二中要用到整体思想.通法比较繁时可以继续观察，新的发现常常是解题的一个突破口，如本题中长度之差相等得到解法三，长度之和关系得到解法四，解题要有审美的观点，题目的妙解总是有的，只要我们有双发现的眼睛，带着思考的观察就会获得独特的发现.

总结之后，教师布置学生研究能方便运用基地法和坐标法解决的向量数量积问题，还搜集研究有些不容易用这两种方法解决的数量积问题，最终我们形成微专题《平面向量中“基地法”和“坐标法”》，由解法一取中点策略从而研究了微专题《极化恒等式在平面向量中应用》.

【教法点评】问题的本质缘于深入思考和探究，教师让学生从通性通法入手，不断引导学生观察、联想，出现不同的更巧妙的解法，看似有新的发现，其实是步步深入探寻问题的本质，才会瞬间被解.带着思考的观察需要教师在教学中不断地引导，使学生形成一种解题熟路.

（三）本原性想法源于思维的迁移

案例3    （2017年江苏模拟）已知实数[x]，[y]满足[x2+y2≤3]，则[x+y-xy]的最大值为______.

此题为一道有条件的二元变量最值问题，学生已具备一些解题套路，但真正解题时仁者见仁、智者见智.本题有点难度，因为已知的是个不等式，对学生来说有挑战，学生思考10分钟后，教师让学生分享解题成果.

生7：此题条件和所求中出现“和、积、平方和”联想到基本不等式，条件中为带等号的不等式，确定应该能求出最值，于是有如下解法.

由[x2+y2≤3]得[（x+y）2-2xy≤3]，所以[2（x+y）-2xy≤-（x+y）2+2（x+y）+3]，而[-（x+y）2+2（x+y）+3=-（x+y-1）2+4≤4]（当且仅当[x+y=1]时取等号），从而[x+y-xy≤2]，检验发现可以取等号，故最大值为[2].

该生很兴奋，可见他的这种数学直觉帮助他迅速解决了问题，其乐无穷，并且讲清楚了如何想到这种解法.

生8：注意到已知条件中是平方和的形式，故可以三角代换，从而达到减元的目的，于是得到如下解法.

令[x=rcosθ，y=rsinθ（θ∈[0，2π]）]，[0≤r][ ≤][3]，

可以很快求出最大值.

師：很好！二元变量通过双变量换元使得问题更加明朗.这是此法的关键，那还有其他想法吗？

生9：考虑将所求换元，注意到有和又有积，因此局部因式分解，再双变量换元，然后从几何角度处理.

令[s=x+y-xy]，[（x-1）（y-1）=1-s]，令[t=1-s]，[m=x-1]，[n=y-1]，则[n=tm]，由[x2+y2≤3]得[（m+1）2+（n+1）2≤3]，由题意知双曲线[n=tm]与圆[C]：[（m+1）2+（n+1）2=3]有公共点，这里要求[s]的最大值，则令[t<0]，借助图形（如图6）可知当两曲线相切时[t]最小，则[s]取最大值.

学生在这里遇到的问题是两条曲线相切不知道如何处理，我们比较熟悉的是直线与曲线相切.

师：虽然我们没有着重研究两条曲线相切，但我们不妨从“相切”这个概念出发，给它一个定义，再迁移到我们熟悉的直线与曲线相切.

生10：我们利用割线逼近切线的方法得到曲线在某一点处的切线，也就是得到直线与曲线相切.我想这里可以用以直代曲的思想，给出两条曲线相切的定义，两条曲线在公共点处的切线相同，这两条曲线在该点处相切.

师：很好！能用类比以直代曲的思想来下定义很有见解，曲线在某点处的变化趋势可以用该点的切线来刻画（如图7）.

下面利用公切线可马上求出t最小，从而得出s的最大值.

学生总结教师补充：解题时的数学直觉很重要，它形成于平时的思考与积累中，达到解题时的“零思考”.对特定的结构，如“和、积式”等要有比较深刻的理解和条件转化能力，会将代数式进行合理变形.一个问题若不能较轻松解决时，要多角度考虑，可以从“数”“形”两个角度分析，遇到新问题，不妨转化到已学问题，或回归概念抓本质属性解题，甚至仿照所学概念给出定义，再考虑解题途径，让问题回归本原.

总结后，教师布置学生研究两条二次曲线相切的条件和用切线刻画曲线的问题，形成两个微专题《两条二次曲线相切与相交问题》和《切线刻画曲线某点处的变化趋势》.

【教法点评】中等难度问题让学生分享自己的解法，增加学生的参与度和信心，提高学生解题的严谨性，分享时的成就感会促使其增强数学学习信心. 德国数学家康托尔提出“数学的本质在于它的自由”，学生不必受传统束缚.学生之间的补充有提醒和互助作用，数学问题上的争论是数学教学中的一种常态，有助于师生对问题的深入理解，接近问题的本质.学生新的发现，哪怕是不对的，教师也要鼓励积极参与，引导其他学生从该角度出发探寻解题思路.偶遇新的问题时，师生共同研究解决，这样数学中的研究性微课题将不断出现，研究学习氛围不断加强，数学探究延伸到更深的方向.

三、“本原性课堂”解题教学的实践感悟

（一）分享解题思路的获取历程是其他同学借鉴和深层次理解的需要

课堂上听某个学生或教师的解题思路是正常的听课状态，但从“听得懂”到“做起来”有一段距离，这需要学生思路的多方面消化.教师让学生在课堂上分享解题思路的获得过程，有利于其他同学借鉴，知道如何思考，从哪个角度思考，弥补自己的不足，明确今后的努力方向;有利于学生对问题的深层次理解，更接触问题的本质，从而提高解题效率. 师生讲解思路的获取历程，展示学生“对数学的理解”和教师“对学生的理解”“对教学的理解”.

（二）带着思考的观察和联想是“本原性课堂”解题教学的关键

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”一方面，课堂中遇到难于解决的问题时，教师要引导学生带着思考观察，对题目条件和结论的联系要深入剖析，在自身理解的基础上看懂每个条件，充分联想，更快找到解题思路，利于进一步分析和解题.另一方面，“教学是动态的过程，课堂上必然会有课前难以预料的事情发生” [3]，教师在不确定的课堂中要有敏锐的观察能力，能洞察学生的动态，及时捕捉学生的想法，充分挖掘教师的知识储备，迅速做出反应，调整课堂教学.

（三）解题之后的“学生总结教师补充”是解题教学的升华

解完题不能就此结束，而应及时总结.学生的总结能帮助其再认识问题，形成对数学的理解，完善自身的数学体系，增强学生的表达能力，教师补充可以站在学生角度发表启发性见解，也可站在教师角度进行总结性概括，总结更简洁，更严谨，优化学生的数学网络和数学思维.

（四）鼓励性教学评价是“本原性课堂”解题教学的保障

数学学习、研究中学生参与度的提高，需要科学合理的评价，学生的信心来源于解题的成功感和鼓励性评价.课堂中鼓励性评价可以是教师的评价，也可以是同学之间的评价.学生信心的提升，能增强学生的课堂投入，是有效课堂教学的保障，指出别人的不足也能促进同学间的相互交流与理解，增强班级的凝聚力，提高学习的能力.

参考文献：

[1]杨玉东，李传峰.例谈用本原性问题驱动数学概念教学[J].中学数学教学参考（上旬刊），2006（1/2）：15-18.

[2]普通高中數学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：3.

[3]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报，2009（6）：19-24.