数学复习课教学的关联与延伸
2019-07-19宋菲易良斌
宋菲 易良斌
摘 要：复习课教学要求教师抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，要善于引导学生找准“生长点”，构建“关联点”，抓取“延伸点”，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养.
关键词：直角三角形;數学核心素养;生长点;关联点;延伸点
史宁中教授指出，数学素养的形成，不是依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生参与其中的数学活动;不是依赖记忆与理解，而是依赖感悟与思维;它应该是日积月累的、自己思考的经验的积累[1].复习课教学要求教师抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养.笔者以初三第一轮复习中《直角三角形》的专题复习课教学实践为例，谈谈基于发展核心素养的复习课教学关联与延伸的几点思考.
一、教学实践
（一）找准知识的“生长点”，创设有效问题
学生在初三第一轮复习时，能较好应用直角三角形的性质、判定，能综合运用面积法、相似三角形的性质、三角函数来求线段长度.但对于直角三角形与其他几何图形（例如圆）的联系较为欠缺，知识欠缺系统性，不会用函数的观点看待几何中两个变量之间的关系.
根据这些特点，教师找到本节课知识的“生长点”，设计了如下问题.
探究一：如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是边AB上的一点，请你添一个条件，确定线段CD的长.
【设计意图】本题是一个开放性问题，学生在添加条件，解决问题的过程中，激活旧知，既基于学生知识的“生长点”，又具有起点低、面向全体学生的优点.同时，问法也比较新颖，激发了学生的探究欲望.
【教学价值】引导学生用函数的观点看待几何问题，发现CD长度由D点位置决定，点D由A向B运动的过程中，当CD⊥AB时，即AD=[185]时，CD最短;当[0 （二）构建知识的“关联点”，形成知识体系 对于探究一，学生有以下几种回答. 学生添法一：D点是AB的中点（如图2）. 【实践效果】回顾直角三角形中求斜边上的高线的方法：面积法、勾股定理、相似.同时，联想此图形中的三对相似三角形（△ABC∽△ACD∽△CBD），重温射影定理. 【教学价值】引导学生将图3和图4进行整合，得到如图5，令AD=a，BD =b，则CD=[ab]，CO=[a+b2]，在Rt△CDO中，有[a+b2≥ab].对于学有余力的学生达到对代数关系的几何表达，这是丰富学习路径，发展直观想象的好时机. 学生添法三：CD是∠ACB的角平分线. 【实践效果】回顾角平分线性质，利用等面积法或△BDE∽△BAC，求得DE长，从而求得CD的长（如图6），拓展角平分线另一性质，得[ADBD=ACBC]，由此算得[AD=307].利用Rt△CGD求CD长（如图7）. 【教学价值】回顾三角形中的重要线段：中线、高线、角平分线，帮助学生梳理求线段的方法：面积法、勾股定理、相似三角形、三角函数，构建知识的“关联点”，形成知识体系. 学生添法四：令AD=x，易得GD=[x-185]，得CD =[（245）2+（x-185）2]. 学生添法五：令∠ACD=α（如图8）， 设DF=x， 那么CF=[xtanα]，AF=[6-xtanα]. 根据△ADF∽△ABC， 得[6-xtanαx=68]， 由此可得x的值，从而求得CD的长. 【教学价值】引导学生发现CD长度由D点位置决定，D点位置由AD长或∠ACD来刻画，从而将问题从特殊引到一般，从不变引向变化，拓展思维深度，发展核心素养. 章建跃博士在《数学教育随想录》中提到，复习教学，基本而重要的是使学生系统掌握课本知识，形成良好的数学认知结构[2].以上添法，教师通过一个问题串联直角三角形在初中几何中的知识框架，构建知识体系.同时，教师引导学生从特殊条件逐步思考一般化的条件，用函数模型刻画两条线段之间的关系，感悟数学的本质，渗透从特殊到一般的数学思想.在此过程中，学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养. （三）抓取知识的“延伸点”，加深本质理解 直角三角形最大的功能是定量研究，第一轮复习需让学生有更深的体会，因此笔者在探究一的基础上设计了探究二. 探究二：如图9，将探究一中的Rt△ABC关于BC对称得△BCD，E是BD上的中点，作AE的中垂线交AD于点F，求AF的长. 【设计意图】此题对于探究一所给图形进行了轴对称变换，成为等腰三角形，将直角三角形与等腰三角形合理对接，巩固两种特殊三角形的性质，此题是2017年杭州中考第10题的一种特殊情况，为解决中考第10题作铺垫. 【教学效果】大部分学生根据中垂线的条件会连接EF，但无法使用“E是中点”这个条件，只有部分学生利用“E是BD上的中点”，添辅助线EG⊥AD，利用△DEG∽△DBC，求得EG=4，GD=3，从而计算AG=9.根据Rt△EFG，得[（9-x）2+42=x2]，求得AF的长. 变式：（2017年杭州中考题）如图10，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，设BD=x，tan∠ABC=y，则（ ） A. [x-y2=3] B. [2x-y2=9] C. [3x-y2=15] D. [4x-y2=21] 解法：与探究二的解法相同，可列方程：[（9-x）2+（3y）2=x2]，得选项B正确. 【设计意图】此题是2017年杭州市中考题，考查等腰三角形、直角三角形、中垂线、三角函数等数学核心知识，命题者用tan∠ABC来刻画AC与BC的关系，由于BC是定值，所以tan∠ABC随AC长度的变化而变化.BD长度随腰AC长度的变化而变化，即BD与tan∠ABC之间存在某种关系.此题得分率低，难点有三：（1）学生从特殊情况（等边三角形、等腰三角形）思考，要么无法排除选项，要么困难重重;（2）需要作三条辅助线;（3）tan∠ABC不是确定的值，学生“害怕字母”而无从下手.在解决此题的过程中学生体验从特殊到一般、数形结合、数学模型等基本数学思想，拓展学生的思维空间，激发学生的创新精神，发展数学核心素养. 【教学价值】在几何图形中研究某两个量之间的函数关系是学生高阶思维的体现，值得探究.当△ABC为等边三角形时，即y=tan60°=[3]，易得D是BC上的中点，即x=6;当△ABC是等腰直角三角形时，即y=tan45°=1，得x=5;当等腰△ABC中，AC=12时（即探究二的图形），y=[43]，x=[9718]，再用同样的方法列举得x=6.5，y=2;x=12.5，y=4，将上述5个点描在直角坐标系中，如图11，通过观察图象的形状，可以猜测是抛物线的一部分，事实上，y与x的函数图象是以x轴为对称轴的抛物线的一半.用描点法画出函数图象，观察图象特征，确定函数类型等环节，这样得到的函数图象可能是近似的，但是学生经历了数学建模的全过程，培育学生数学模型的素养，彰显学生未来学习数学的潜能. 二、教学思考 史宁中教授指出，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.在终极目标下，我们的数学教学活动应把握数学内容的本质;创设合适的教学情境，提出合理的问题;启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流;让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质;让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养[3]. 复习课的教学设计，应着眼于学生的学情，致力于發展学生数学核心素养，提高学生高阶思维能力.笔者认为教师在进行复习课教学设计时，可以把握以下几个方面的关系. （一）教学目标的“隐”与“显” 四基中的基础知识、基本技能是教学目标中的显性目标，基本思想、基本活动经验是教学目标中的隐性目标.以显性目标为载体、隐性目标为导线的教学设计能使课堂教学更为高效. 本节课，学生熟练掌握了直角三角形的性质与判定.学生欠缺的是将几何知识进行串联，将直线型问题与曲线型问题进行联系.其次，学生解题往往停留在就题论题，无法以点带面，不会以函数的观点看待几何图形中两个变量之间存在的关系.因此，本节课可以将教学目标确定为： 显性目标——目标1：回顾直角三角形的性质（勾股定理、斜中线定理），梳理求线段长度的方法（勾股定理、面积法、相似三角形、三角函数）;目标2：能根据具体问题构造直角三角形，运用勾股定理解决问题. 隐性目标——目标3：经历问题的探究过程，培养独立思考能力，渗透从特殊到一般的思想、函数思想. 其中，目标1、目标2是具体的知识、技能，是本节课中的显性目标，目标3则是学生通过活动，体验获得的数学感悟，是隐性目标，是数学核心素养的落实. （二）教学内容的“高”与“低” 显性目标与隐性目标的实现需要以教学内容为载体.复习课要面向全体学生 ，所以选择的教学内容需要起点低.例如，本节课的教学设计中，探究一面向全体学生，同时又能落实基础知识、基本技能，可谓是低起点. 师生合作发现，当线段AD的长度确定时，CD则被确定，由此推理得到CD与AD之间的函数关系，这能有效提高学生的思维能力.当教师引导学生得到∠ACD确定时，CD的长度被确定，引入三角函数，得到CD与∠ACD的函数关系，突破学生的思维障碍.这是本节课的高落点. （三）教学方法的“收”与“放” 教师提出开放式问题，学生必然会展开多角度、多方面的思维活动.在学生产生多种答案的过程中，能发展其思维的广阔性和灵活性，从而培养创新能力.本节课，探究一中添加中线、高线、角平分线的方法，是同一层次、不同角度的添加方法，可以帮助学生形成知识体系，添加条件AD=x或者∠ACD=α，是相对于中线、高线、角平分线添法的一般化，环环相扣、层层递进，导向更高阶的思维. 三、结束语 章建跃博士在《什么是好数学教学》中提出，“好数学教学”的根本标准是“数学育人”——在学生的终身发展上产生最大的长期利益，具体体现是学生学会思考并进而学会学习[4].基于核心素养的复习课教学需要教师更好地理解数学，创造性地设置问题情境，巧妙地串联问题，切实将培育学生核心素养融入每一节课的教学环节中，实现学生的全面发展. 参考文献： [1]史宁中.推进基于学科核心素养的教学改革[J]. 中小学管理，2016（2）：19-21. [2]章建跃. 数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017：733. [3]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37. [4]章建跃.什么是好数学教学[J].中小学数学，2011（7）：1.
