以学习者的视角设计数学活动——“展开与折叠”教学设计与思考

◇设计/邵 钦 点评/张春莉 余 瑶

课前思考

“展开与折叠” 是北师大版教材五年级下册第二单元“长方体（一）”的学习内容，在这之前学生已经学习了长方体、正方体的特征，能够在立体图形与平面图形间进行相互的转化。这节课通过展开和折叠活动，进一步帮助学生认识长方体、正方体的特征，发展学生的空间观念。那么，该设计什么样的活动促进学生认知的发展呢？教师需要思考哪些问题呢？

1.教材活动的主线是什么？

教材活动的主题是以正方体为例，呈现了将一个正方体盒子沿着棱剪开，得到其展开图的过程示意图，按照“展开（通过沿棱剪开盒子可以得到一个展开图）—拓展（不同的展开方式可以得到不同的展开图）—还原（通过折叠还原为立方体）—判断（通过展开图想象立体图形每个面之间的关系）”四个层次设计学习活动，借此让学生感知正方体与展开图之间的关系，发展其空间观念。

2. 学生对正方体的展开与折叠已经有了哪些认识？

笔者通过对所执教的五年级33 名学生的调研发现： 他们在日常生活中都有过拆纸盒经历，使用过或见过的展开图多为“十”字形或“T”字形。4 名学生在课外班学习过本节课内容，因此知道展开图有11 种。17 名学生认为正方体的展开图只有一种，即“十”字形；9 名学生认为有两种,为“十”字形或“T”字形；3 人认为有3 种。在33 人中有26 人提到“十”形字展开图，10 人提到“T”字形，10 人提到其他样子展开图。由此可见，大多数学生能够借助生活经历，得到“十”字形展开图，这是学生在学习本节课前已有的一些认知。

3.这节课学生想研究什么？

笔者进一步询问学生想研究哪些问题，学生提出以下问题：还会不会有其他展开图？其他展开图能不能折叠回去？设计图有规律吗？长方体展开图都是中间有4 个长方形，正方体展开图为什么有这么多种？

结合教材设计思路和学生调研，站在学生的角度思考数学活动的设计，笔者认为，需要经历以下活动： 展开 （用自己的方式得到一个展开图——受伙伴的启发，自己设计不同样式的展开图）；折叠（围绕学生的不同设计图，小组讨论并全班交流，思考能否将设计图还原为正方体，并各自说明理由）。通过这两个主要活动，发展学生的空间观念。

教学过程

活动一：展开——实现立体向平面的转化

1.初次尝试设计正方体展开图。

活动前，教师带领学生回忆并交流正方体的特征，适时提出挑战性的活动：（如图1）

图1

（注： 方格纸中小正方形的大小与魔方每个面的大小一致）

学生独立探索后汇报自己的设计思路。（先汇报“十”字形）

师：谁来汇报一下你是怎么设计出来的？

生1：我把魔方滚动就设计出这样的图。（如图2）

师：他用的是什么方法？

生2：我是用纸把魔方包起来。（如图3）

图2

图3

师：除了包裹的方法，还有其他方法吗？

生3：我将魔方往这一放，用手这样比画比画，然后就出来了（如图4）。

图4

师：看来想象也可以帮助我们解决问题。

师：同学们特别有办法，用多种方法设计出了这样一个展开图。这些方法有什么相同的地方吗？

生1：都是先确定下来一个面。

生2：都是想试图得到魔方的展开图。

生3：要把立体图形变成平面图形。

生4：要找到立体中的面在平面上的位置。

师：同学们特别了不起，先固定一个面，然后找到立体中的面与平面中的正方形间的对应关系，就设计出了这样的图形。通过滚动、包裹、想象的方法我们可以将正方体展开，展开后的六个面可以这样连接在一起。

师：用这些方法，你们还设计出其他图形了吗？

生1：我用滚动法设计出了这个图。（如图5）

图5

图6

生2：我用包裹的方法设计出了这个图。（如图6）

设计意图：本环节希望展现不同学生的认知。通过不同方法的展现，鼓励学生发现不同中的相同：即需要固定一个面，找到立体中的面与平面中正方形的对应关系。同时，通过展现不同的设计图，让学生感受展开图的丰富性，激发学生再设计的愿望，引发学生对展开图的深入思考。

2.再次设计正方体展开图。

师：刚才大家用不同方法画出了几种设计图，你还有什么问题想研究的？

生：还有其他设计图吗？

生：设计图有可能还原不回去吗？

生：设计图有什么规律吗？

师：我们先来思考能否设计出其他图形。如果凭借想象再进行一次设计，你能设计出几种？如果有困难，还可以借助魔方进行再次设计。（学生进行设计，教师巡视）

3.再次设计后展示设计图。（如图7）

图7

设计意图：对展开图的再次设计，满足了学生继续研究的愿望，同时使学生有了更大的设计空间，学生可以继续沿用原有的方法设计，也可以只通过想象进行再创作。由于学生认识水平不同，在设计过程中难免出现正误两类设计图，通过展示这些设计图，一方面尊重了学生的现有认知，另一方面也为学生对正方体及其展开图进行再思考提供了鲜活的素材。

活动二：折叠，完成平面向立体的转化

1.个人及小组对折叠的思考。

师：面对这些图，你们想继续研究点什么？

生：能不能折回去？

生：有什么规律没有？

师：同学们提出的这两个问题都很好，下面大家先独立思考，再小组交流。（出示活动要求，如图8）

图8

2.全班交流对折叠的思考。

师：哪些不能还原呢？

生：这个图（图略）不能还原，它只有5 个面。正方体有6 个面，而这个图有5 个面，所以肯定不行。

师： 借助正方体面的个数特征直接观察，进行判断是个好办法。

生1：这个图（如图9）也不行，因为把魔方固定在中间，其他面包裹后，少了一个盖。

图9

生2：这是我设计的，我发现有两个面重叠在一起。

师：对于这个图你还有什么发现？

生3：不能组成田字格。

生4：三个面在一起包裹后，多出了一个面。

生5：田字格对角的面肯定要有重合。

生6： 正方体相对的面必须隔着一个面。这样对角的面不是隔着一个面，而是靠顶点连接，所以这个面不能成为中间这个面的对面，其他几个面都有对面。

生7：因为“田”字的中心点相当于魔方的一个顶点，它只连接魔方的三个面，如果把三个面展开的话在顶点周围就形成了270°的一个角，而不能是360°。像“田”字这样是360°，它无法形成立体图形。

师：同学们真棒，你们可以通过想象正方体面与面的位置关系进行推理，将设计图在头脑中进行折叠来判断结果。

师：下面这个图行吗？（如图10）

图10

生：上面的两个正方形不是对面，应该一上一下。

师：同意吗？其他图都能还原吗？你们有什么发现？

生1：我的发现跟相对的面有关，相对的面在平面图中必须成“目”字，这样上面的“口”和下面的“口”才能相对。

生2：设计图只要占三行，中间一行有四个，两边一边一个就可以。

生3：因为这样都能找到每个面的对面。

生4：中间四个相当于腰，剩下两个一个是上面一个是下面。

师：通过观察、操作、想象和推理等方法，我们研究了如何将立体图形进行展开，将平面图形进行折叠，还发现了一些规律，难能可贵的是你们还发现了规律背后的道理，对正方体有了更深的认识。这节课你们还有什么收获？

设计意图：本环节安排了学生思考、讨论和交流折叠的相关问题。该活动符合学生思维发展的逻辑，当全班展示了多种设计图时，学生最为关心的是这些设计图能否折叠回去，以及这些图有没有规律。带着这些问题，学生进行思考和探索，进而发现不能折叠回正方体的设计图的一些特点。同时，结合正方体的特征寻找不能折叠回去的真正原因，实现从平面向立体的转化，发展学生的空间观念。

课后反思

1. 情境设计要促使学生产生自主探索的需求。

本节课创造性地使用教材，创设了“为魔方设计贴身盒子，并画出设计图”的情境展开学习。开发的情境既贴近生活又具有实际意义，因为做一个包装盒，往往需要对展开图进行折叠，这样学生就产生设计展开图的需求，激发了学生自主探索的愿望。

2.活动的层次要关注学生“最近发展区”。

整节课有两个主要活动：活动一，通过“展开”这一活动完成由立体到平面的转化；活动二，通过“折叠”这一活动完成由平面到立体的转化。两个活动看似并列，实际上具有进阶关系。

第一个活动是依据课前调研学生已有的基础而设定的。目的是让学生通过自主探索，完成两次设计，展现其对正方体展开图的认知和设计思路。

第二个活动目的是组织学生思考能否还原为立方体的相关问题，完善对立方体及其展开图的再认识。这一活动也是基于学生需求，从学生希望深入研究正方体展开图的几个问题出发展开讨论。如设计的展开图都能折回去吗？展开图有什么规律吗？这样的学习遵从了学生的认知需求，有利于学生思维的发展。

3. 活动的材料要为学生认知发展搭建 “支架”。

魔方和方格纸是本节课的两种主要活动材料。本节课力图利用这两种材料为学生认知发展提供帮助。

首先，活动材料要能体现不同认知水平学生的不同方法。在活动第一次设计过程中，有些学生利用魔方在方格纸上滚动，有些学生用方格纸包裹魔方，有些学生在头脑中想象出一把剪刀将魔方的每个面展开到方格纸上。前两种方式是通过直接操作学具进行设计，后一种是凭借想象进行设计。正是有了这两种材料，将两种不同水平学生的思维过程展现出来，有利于学生借助各自的认知方式建立起立方体与展开图的关联。

其次，活动材料的使用激发了学生的认知冲突，促使学生自我反思。特别是再次设计中错误设计图的暴露，使学生对自己的原有认知产生了质疑，开始重新审视自己的思路。

活动材料是学生学习的重要支架，但在学习后期学生需要脱离支架，形成自己的理解。面对能否折回去这一问题，大家对方格纸上的设计图进行了观察、想象、推理，在头脑中完成平面返回立体的过程，通过观察设计图的某些明显特点进行判断，如设计图如果是5 个面或7个面就不符合正方体的特征。 面对都是6 个面的问题，学生从依然需要借助魔方完成折叠过程，到不需要借助魔方可以直接在头脑中对设计图进行折叠操作，再到借助设计图进行推理，这些思考由浅入深地体现出学生认知发展的过程，即慢慢摆脱实物，借助自己的想象、推理实现对正方体特征的认识。

点评

邵老师的“展开与折叠”这节课，生动地向我们呈现了学生在几何类知识学习中的思维路径，体现了以学习者视角设计教学活动这一理念。设计的教学活动环环相扣，具有层次性，既让每个学生有独立的思考空间和时间，也充分展开了学生的空间想象，在自主探索为什么这些图形是或不是正方体的展开图的过程中加深学生对长方体、正方体的认识，帮助学生建立起平面和立体间的关系。

具体说来，这节课具有以下三个方面的特点：

首先，注重学生体验。邵老师对教材进行创造性的使用，对于想象能力较弱的学生，魔方是一个很好的教学辅助工具，学生利用魔方在方格纸中滚动、折叠，从而能够想象出正方体展开的轨迹。

其次，尊重儿童语言与思维。在这节课中，许多学生能够用自己的语言描述正方体展开的过程，如把魔方包起来、将魔方往这放一放、展开图中四个连在一起的正方形像人的腰等，这些语句并没有出现在课本中，而是儿童用自己的语言去理解正方体如何展开的过程以及展开图的特征。邵老师因势利导，抓住学生语言进行教学，贴近学生认知发展区。

再次，本节课是以空间能力和想象为导向，而不是以结果、知识为导向。如学生无论是动手操作还是想象，都需要借助固定的面。通过折叠与还原这样的活动，学生空间能力实现了从立体到平面又从平面到立体的转换，并对展开图中什么样的两个面能够成为正方体中相对的两个面有了完整的认识。