深耕数学活动，孕育核心素养——对基于深度学习的小学课堂数学活动的认识与思考

◇任占杰

在平时听课和质量监测中我发现，当前课堂教学中仍然存在“重结果、轻过程”的问题。“轻过程”，会让学生缺失经历知识建构的过程，缺失独立思考的机会，缺失对问题解决方法、策略的体验……而这些恰恰是学生深度学习、数学素养生根发芽的沃土。

一 如何认识数学活动

对数学活动的认识容易窄化为课堂上学生个体的动手操作或小组合作活动，甚至有的教师片面地认为数学活动专指数学活动课、 实践课。 依据2011年版数学课程标准的基本理念，数学活动指从事数学学习的活动，即将数学学习孕育于活动之中，活动中有数学的发现、数学的思考、数学的表达。鉴于此，数学活动应具备以下特质：

1.承载知识本质。

深度学习的基础是理解。 只有理解知识的本质内涵，才能举一反三、迁移应用。因此，基于深度学习的数学活动首先要承载知识本质。

张奠宙教授对数学本质做了如下界定：数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验。除此之外，我们认为，数学的求真、求简之美，也是其本质内涵之一。

以三年级“面积单位间的进率”一课为例。如图1，人教版教材中呈现边长为1 分米（10 厘米）的正方形及两个学生的对话，体现其本质内涵是借助正方形面积的计算方法，由长度单位的进率推演面积单位的进率的过程。 这个过程既体现了数学知识的内在联系，又体现了数学推理在探究面积单位间的进率过程中的作用。

图1

怎样的数学活动才能承载这一知识本质作用呢？ 请感受如下不同的数学活动对学生感悟知识本质的作用：

【活动1】

核心问题：猜想1 平方分米等于多少平方厘米。

学习材料：1 平方分米的正方形和1 平方厘米的正方形。

活动指令：利用摆一摆、画一画、算一算的方法，对自己的猜想进行验证。

【活动2】

核心问题：1 平方米=100 平方分米，为什么像这样两个相邻面积单位间的进率是100 呢？

学习材料：学习单、信封（里面装有两张大小不同的正方形纸）。

活动指令：在学习单上，通过写一写、画一画说明道理。如果有困难，可以借助信封里一大一小两张正方形纸，启发思考。

比较两个活动，最大的区别是提供的学习材料和活动指令的不同。

活动1 利用材料进行验证。该活动更多指向通过用小面积单位（正方形）铺大面积单位（正方形）发现相邻面积单位间的进率关系。尽管数学推理也有体现，但教师的硬性指令（算一算）削弱了学生自主发现、推理、思考的程度。

活动2 通过提供学习单帮助学生明理。该活动不仅给学生提供了思考的起点，而且关注全体，使不同层次的学生从事不同层次水平的数学活动。（1）推理能力较强的学生，可以直接写一写说明道理，这一过程就是数学推理。没有任何暗示，让学生从自己思考的起点入手，这是聚焦知识本质的思维活动。（2）对于直接明理有困难的学生，教师提供点子图帮助其理解。点子图的设计给学生提供测量、 连线以达到直观理解的机会，为促进学生由长度单位间的进率推演面积单位间的进率提供扶手。（3）对于还有困难的学生，给其提供动手操作的机会，引导他们对信封中的一大一小两个正方形进行拼摆，观察、发现进率关系。无论哪种情况，都为学生提供了数学思考的机会。其中，“写一写”环节尤为重要，它引导学生将发现、思考进行梳理、表达，这就是数学推理。所以，这样的活动就是聚焦知识本质、发展数学推理能力的数学活动。

2.凸显数学思考。

数学活动的本质是数学思考。如果数学活动只停留在动手操作的外在形式上，也就失去了数学活动促进学生深度学习和发展数学素养的价值。如上述两个活动，活动2 比活动1 更具思考性，因为其设计的指向性范围小，所以更能促进学生从源头思考。

以五年级“真分数与假分数”一课为例。教师在课始设计了如下活动：

活动指令：它是分数，读作四分之五。请你试着在纸上画图表示出这个分数。

此活动思考性很强，因为它为学生提供了认知加工的机会，让学生调动已有的知识经验、研究问题的经验，以个体的认知方式尝试建构假分数的意义，尽管结果不一定完善，但学生经历了认知自主加工的思考过程。

3.符合真实学情。

数学活动的价值在于让学生基于已有的经验，亲身经历知识形成的探究过程，产生深刻体验和独立思考。所以，课堂上教师为学生设计的活动应以符合学生的认知基础为原则，这才是切合学生实际的有效数学活动。

“三角形三边关系”一课作为命题教学，旨在发展学生的数学推理能力。 让学生经历观察、发现、猜想、推理、验证的过程，无可厚非。但是当面对下面的课前调研结果（如图2）时，就需要重新思考：是否有必要将学生对“三角形三边关系”的认知置于零起点的位置来设计数学活动呢？ 我们认为，课堂不应是学生配合教师完成教学流程，而是教师要为学生的“学”服务。

图2

4.选择恰当的学习方式。

随着课程改革的深入，大家越来越关注学生学习方式的变革，非常认可探究性、体验式学习。“克和千克”作为一节建立量感的课，让学生经历体验活动必不可少。例如，掂一掂一本字典、一袋糖，拎一拎一袋大米，背一背同学等感受质量的活动，充分体现了体验式学习对于二年级学生建立量感的重要性。

但在知识领域中，并非所有的学习都适宜采用探究性、体验式的学习方式。像一些陈述性知识，接受式学习不可回避。以二年级的“除法竖式”为例。除法竖式的书写规则，对学生来说是陈述性知识，无须自主探究，接受式教学完全可以解决。 但由于除法竖式不仅仅表示分物的结果，而且表示分物的过程，而二年级学生恰恰有丰富的分物经验，如果将学生的直接经验与人为规定的抽象竖式有效对接（如图3），使学生知其然还知其所以然，则属于有意义接受，即学生在接受式的学习过程中，主动介入个人的经验，经历自主建构的过程。所以，我们认为选择恰当的学习方式是提高数学活动质量的关键一环。

图3

二 如何设计有效的数学活动

1.关注两个维度。

一个是知识维度，即知识本质；另一个是认知维度，即认知过程。

关于知识本质，既需要教师对数学知识的认识与理解，还需要教师对教材的整体把握和深度解读。为什么学生对平方米与公顷间的关系往往停留在记忆性的掌握，而无丝毫的推理意识？这需要反思课堂，学生在建构认识时是否经历了推理过程？调研中，有些教师提出教材中并没有明确的提示，仅是简单的一句话，即“测量土地的面积，可以用‘公顷’作单位。边长是100 米的正方形面积是1 公顷。”其实，三年级教材中“面积单位间的进率”一课非常具体地呈现了这样的过程（如图1），四年级教材中的简单处理并不意味着在教学时可以简化这一过程，反而应借此进一步巩固推理过程，提升学生的推理能力。因此，抓知识本质，需要整体把握教材，理解教材所呈现的本质内涵。

关于认知维度，要把握学生建构概念的三个阶段：动作表征、表象表征、符号表征。这就要求我们在设计数学活动时，要为学生提供动手实践的机会，提供借助直观模型建立表象的机会，还要提供用符号进行表达以建立模型的机会。

例如，五年级“分数的基本性质”一课的数学活动很好地体现了上述三个阶段。

（1）动作表征阶段。两次找相等分数，经历了数与形两个维度的验证过程： 数——类比推理；形——突出从两幅图到一幅图的验证过程。这样做，不仅能使学生深入理解知识本质，而且为建立表象表征做了充分准备。

核心问题2：像这样相等的分数还有吗？请你再找一组，并用自己喜欢的方法验证。

学生验证：①运用商不变的性质验证（略）；②画图验证（如图4）。

图4

（2）表象表征阶段。伴随学生的快速解答，学生头脑中不断闪现直观图中一份分几份、几份合一份的图像。这是依赖动作表征的表象表征。

（3）符号表征阶段。用符号或语言表达思考的过程。

核心问题：你是怎么找到的？

学生回答如下：

②分数的分子、分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。

2.关注目标定位。

任何数学活动都以达成目标为目的，因此，教学目标的设定在一定程度上决定了数学活动设计的内容、方式和活动的价值取向。

以五年级“分数的大小比较”一课为例。如果将教学目标仅仅定位在比较分数大小的方法、规律的总结与归纳上，这节课的重点会停留在对多组分数的大小进行观察、比较、总结、归纳上，而忽视让学生经历丰富的借助几何直观，感悟、理解分数大小比较的本质意义。本节课的目标还可以定位在：（1）以丰富的生活经验、直观表象为支撑,经历多角度的明理过程，提高数学抽象、归纳、概括能力；（2）围绕知识本质，突出从分数单位的角度明理，感悟单位思想，形成推理能力。这样一来，学生将在丰富的数学活动中建构认知。因此，本节课的设计可以分两个层次：

第一个层次，同分母分数大小比较——多角度明理，强化联系，积累经验。

第二个层次，同分子分数大小比较——突出知识本质，渗透单位思想。

3.关注核心问题。

核心问题指在每节数学课中，对知识的学习、方法的探究、问题解决策略的形成，起到方向性引领作用的话题。它可以是一个大问题，亦可以是包含2 至3 个小问题的问题串，是课堂中数学活动的索引，而非一问一答式的细碎问题。因此，核心问题要具有宽度、深度和效度。

所谓宽度，指核心问题的问域要宽，给学生留有充足的研究、思考问题的空间，避免直指结论。如“面积单位间的进率”一课，“像这样常用的相邻两个面积单位间的进率为什么是100 呢？能不能证明一下”给学生提供了充足的思考、研究问题的空间。

所谓深度，指核心问题的思维深度。如“除法竖式”一课，“能不能将摆小棒的过程更简单地表示出来”促使学生将分的过程与竖式表达建立联系，促进学生对算理的理解，感受竖式表达的简洁之美。

所谓效度，指核心问题的有效性。有效度的问题具有一定的引领性，引领学生经历知识的建构过程。如“图形的旋转”一课，“能不能用更加简洁、 准确的数学语言描述钟面上表针是怎样运动的”这一看似平常的提问，实际上是统领学生经历观察、对比、表达、交流的活动，引领学生聚焦旋转的三要素，并进行对比提炼及简明扼要的表达，这样的过程就是建构概念的过程。

4.关注材料提供。

这里的材料指从事数学活动的学习材料，它决定了数学活动的有效性。

以五年级“异分母分数加减法”一课为例。有如下两个案例：

图5

案例2：只为学生提供图形纸片。学生研究分数加减法时，围绕“如何一眼看出的结果是” 这一问题，利用图形纸片自主进行折、画的操作活动。这样找出的新的分数单位，不是让学生看出来的，而是伴随着推理得到的。

从上述案例我们发现：不是学习材料准备得越精细，就越有利于促进学生的数学思考。提供的活动材料既要能辅助学生进行操作活动，还要有利于学生进行数学思维活动，促进学生在活动中思考，在思考中发现，实现主动、独立、自主建构性学习。因此，活动材料的提供要以能促进学生进行开放性的操作、独立性的思考为准则。