广义泰勒中值定理中间点的一个渐近估计式

张树义， 张芯语

(渤海大学数理学院，辽宁 锦州 121013)

关于中值定理“中间点”渐近性的研究开始于Azpeitja[1]和Jacobson[2]在1982 年的文章. 在这之后， 一些作者研究各种中值定理“中间点”的渐近性质， 例如可见文献[3 -20]. 文献[3 -7]研究了几种中值定理“中间点”当区间长度趋近于无穷(x→＋∞)时的渐近性态. 文献[8 -14]中研究了几种中值定理“中间点”当区间长度趋近零时的渐近性质. 最近文献[15 -20]研究了包括广义泰勒中值定理在内的几种中值定理“中间点函数”的一阶可微性. 文献[21]利用Taylor 中值定理“中间点”渐近性研究了方程求根的一个四阶迭代算法. 该文的目的是研究广义泰勒中值定理“中间点”当x→＋∞时渐近性态，在一定条件下，建立广义泰勒中值定理“中间点”当x→＋∞时的一个新的渐近估计式， 并举例说明给出结果的有效性和广泛性， 从而推广和改进了文献[3-7]中的相关结果.

1 预备知识

广义泰勒中值定理 设f(x)与g(x)在[a，＋∞)具有直至n -1 阶连续导数， 在(a，＋∞)内存在n 阶导数且gn()x( )≠0，则∀x∈(a，＋∞)，存在ξ∈(a，x)，使

下面引理在后面将被用到，可见文献[6].

引理2 设f ( x)在[0， ＋∞)有n ＋1 阶导数且则(i) 当A ＞0 时，(ii) 当A ＜0 时其中A 为非零常数， i ＝0， 1， 2，…，n.

文献[5]证明了如下结果.

定理1[5]设f(n＋p)( x)与g(n＋p)( x)在[a，＋∞)连续且又设∀x∈(a，＋∞)， f(n)(x)≠0， g(n)(x)≠0， 则广义泰勒中值定理中的“中间点”ξ∈(a，x)，有渐近估计式

其中A，B 为非零常数， p，q 为正整数且p≠q.

定理1 基本上可满足应用中的一般需要，但对某些函数， 定理1 还不能应用.

例1 在[1， ＋∞)上取f(x) ＝xn＋1ln x ＋xnln x，g(x) ＝xn＋1ln x，则

由此可见p ＝q ＝2，f(x)与g(x)不满足定理1 的条件， 故定理1 不能使用.据此如果p ＝q， 则定理1 不再成立.

对于广义泰勒中值定理中的“中间点”， 该文给出一个新的渐近估计式如下.

2 主要结果

其中D 是非零常数.

证明 首先指出定理2 的条件保证了m≠p. 事实上， 若m ＝p， 则

这与D 非零相矛盾. 故m ≠p. 其次证明当x →＋∞时，有ξ →＋∞， 为此不妨设由引理2 有

情形Ⅰ 若m ＞p ， 则由引理1 及洛必达法则有

情形Ⅱ 若m ＜p， 则有

由(Ⅰ)式， 有

由(3)式与(4)式立得(2)式.

下面举例说明定理2 的应用

例2 在[1， ＋∞)上取例1 中的函数f(x) ＝xn＋1ln x ＋xnln x，g(x) ＝xn＋1ln x，则

注1 例2 表明当x 趋近于正无穷大(x→＋∞)时， 广义泰勒中值定理中的“中间点”ξ 趋近于区间(1， x)中的点.

3 结论

众所周知数学分析中的中值定理只给出了“中间点”ξ∈(a，x)的存在性，并没有指出“中间点”ξ 在区间(a，x)内的数目，位置及求法. 通过对中值定理“中间点”渐近性的研究可以确定“中间点”ξ 在区间(a，x)内的渐近位置， 从而为近似计算提供一种有效和比较精确的计算方法. 该文研究了广义泰勒中值定理“中间点”当x→＋∞时渐近性态，在x等条件下，建立广义泰勒中值定理“中间点”当x→＋∞时一个新的渐近性定理， 此渐近性定理与文献[4 -6]一起解决了广义泰勒中值定理“中间点”当x→＋∞时渐近性问题. 文中还举例说明了给出结果的有效性和广泛性. 结果丰富了数学分析中的中值定理理论，具有实际意义.