某类解析函数的Fekete-Szegö 不等式

牛潇萌

(赤峰学院数学与统计学院， 内蒙古 赤峰 024000)

1 引言

的函数类的全体.用S∗表示星象函数类，用C 表示近于凸函数类，S∗和C 都是S 的子类.

定义1.1[1]设函数f(z)与g(z)在U 内解析，如果存在U 内满足的解析函数ω(z)，满足g(z)＝f(ω(z))，称为g(z)从属于f(z)，记为g(z)pf(z).

设-1 ≤B ＜A ≤1，用P(A，B)表示在U 内解析并且满足条件的所有函数的全体.显然P(1，-1) ＝P 为熟知的正实部函数类.

1933 年， Fekete 和Szegö 在文献[2] 中提出了函数族S 上的系数泛函的准确估计， 近些年来，许多作者研究了不同解析函数类上的Fekete-Szegö 问题.如文献[3-13] 分别引入了一些特殊解析函数类， 并讨论了其Fekete-Szegö 不等式问题.

刘名生在文献[14]中给出了如下函数类.

定义1.2[14]设f(z)∈S，α ＞0，λ≥0，-1 ≤B ＜A ≤1，若存在g(z)∈S∗，使得

则称f(z)∈B(λ，α，A，B，g(z)). 子类B(1，α，1，-1，z)是Bazilevic 函数类的子类.

定义1.3[15]设f(z)∈S，α ＞0，λ≥0，σ ＜1，若

则称f(z)∈Ρ(λ，α，σ). 显然B(λ，α，1 -2σ，-1，z) ＝Ρ(λ，α，σ).

刘名生在文献[14]中研究函数类B(λ，α，A，B，g(z))，得到其从属关系，包含关系，偏差定理等.但是关于函数类B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szegö 不等式还尚未研究过. 本文将给出B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szegö 不等式，进一步给出Ρ(λ，α，σ)的Fekete-Szegö 不等式.

2 主要结论

为了证明B(λ，α，A，B，g(z))的Fekete-Szegö 不等式，需要如下引理.

引理2.1[16]设ω(z) ＝c1z ＋c2z2＋…在U 内解析，且，则有.

引理2.2[17]设p(z) ＝1 ＋p1z ＋p2z2＋…∈P，则有

其中，

证明 设f(z)∈B(λ，α，A，B，g(z))，则存在，使得

整理得

由Taylor 展开式并比较(2)式两边zα＋1z 和zα＋1z2两项的系数可得

令p1＝2leiβ，0 ≤l ≤1，则由引理2.2 可知

而

由引理2.1 可知

令c1＝reiθ，0 ≤r ≤1，则

因为b2＝p1＝2leiβ，c1＝reiθ，所以有

所以

其中

最后一个不等式成立的条件如下:

又因为x≥0，经简单计算可得

从而

由(1)的证明可知

从而

当μ ≤μ1时，不存在极值函数.

经简单计算可知

其中

令

易知，F(A-B)是(A-B)的一次函数.

因为F(A-B)是(A-B)的一次函数，所以当0 ≤(A-B)≤2 时，F(A-B)≥0，从而G(x1)≤α ＋2λ ＋A -B.对于0 ≤t ≤1，有

当b2＝0，b3＝1，c1＝0，c2＝1 时等号成立.

由于B(λ，α，1 -2σ，-1，z) ＝Ρ(λ，α，σ)， 在定理2.1 中取A ＝1 -2σ，B ＝-1，g(z) ＝z，可得如下推论.

其中，