2019年美国数学竞赛(AMC12A)的试题与解答

广东省华南师范大学数学科学学院(510631) 李湖南

1.The area of a pizza with radius 4 is N percent larger than the area of a pizza with radius 3 inches.What is the integer closest to N?

(A)25 (B)33 (C)44 (D)66 (E)78

译文： 半径4 英寸的披萨比半径3 英寸的披萨面积大百分之N，则与N 最接近的整数是多少?

解故(E)正确.

2.Suppose a is 150%of b.What percent of a is 3b?

译文： 设a 是b 的150%，则3b 是a 的百分之几?

解依题意有a = 1.5b，则故(D)正确.

3.A box contains 28 red balls， 20 green balls， 19 yellow balls， 13 blue balls， 11 white balls， and 9 black balls.What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least 15 balls of a single color will be drawn?

(A)75 (B)76 (C)79 (D)84 (E)91

译文： 一个盒子里有28 个红球， 20 个绿球， 19 个黄球，13 个蓝球，11 个白球和9 个黑球.在不放回的情况下，必须至少从盒子中取出多少个球才能确保会取出15 个同种颜色的球?

解依题意，红球、绿球、黄球得取出14 个，蓝球、白球、黑球全部取出，再加任意1 个就符合条件，即至少需要取出14×3+13+11+9+1=76 个球，故(B)正确.

4.What is the greatest number of consecutive integers whose sum is 45?

(A)9 (B)25 (C)45 (D)90 (E)120

译文： 最多有多少个连续整数的和等于45?

解设有x 个连续整数，从n 开始，即n+(n+1)+(n+2)+···+(n+x-1)=45，可得x(2n+x-1)=90，最大值解为x=90，此时n=-44，故(D)正确.

解先写出这两条直线方程：y-2=和y -2 = 2(x-2)， 然后分别与方程x+y = 10 联立，求得交点为B(6,4) 和C(4,6)， 设点(2,2) 为A， 则同理可得如图示，作AD⊥BC 于D，则D 为BC 中点，从而于是AD =6，故(C)正确.

图1

6.The figure below shows line l with a regular，infinite，recurring pattern of squares and line segments.How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn，other than the identity transformation，will transform this figure into itself?

-some rotation around a point of line l

-some translation in the direction parallel to line l

-the reflection across line l

-some reflection across a line perpendicular to line l

图2

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

译文： 下图表示一条有规则的、无限的、循环出现的正方形和线段图案的直线l.下列四种平面上的刚体变换中，恒等变换除外，有多少种会将该图形变换为自身?

①绕直线l 上的一个点的一些旋转; ②关于平行于直线l 的方向上的一些平移; ③关于直线l 的反射; ④关于一条垂直于l 的直线的反射.

解看图可知， 绕直线l 上一点做180°旋转可以变回自身; 关于平行于直线l 的方向上做若干个周期的平移也可以变回自身; 而关于直线l 的反射、或者垂直于l 的直线的反射则会将与正方形相连的线段方向变反.所以只有变换① ②符合要求，故(C)正确.

7.Melanie computes the mean µ， the median M， and the modes of the 365 values that are the dates in the months of 2019.Thus her data consist of 12 1s，12 2s，…，12 28s，11 29s，11 30s，and 7 31s.Let d be the median of the modes.Which of the following statements is true?

(A)µ ＜d ＜M (B)M ＜d ＜µ (C)d = M = µ (D)d ＜M ＜µ (E)d ＜µ＜M

译文： 米兰妮在计算2019年12 个月中的所有365 个日期的平均数µ，中位数M，和众数.她的数据包含12 个1，12个2， …，12 个28，11 个29，11 个30 和7 个31.令d 为所有众数的中位数，则下列哪个说法是正确的?

解平均数为中位数为从小到大排在第183 的数， 即M = 16， 众数为1,2,··· ,28，则众数的中位数为d=14.5，比较后可知，(E)正确.

8.For a set of four distinct lines in a plane，there are exactly N distinct points that lies on two or more of the lines.What is the sum of all possible values of N?

(A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 19 (E)21

译文： 对于一个平面上的四条不同的直线，恰好有N 个不同的交点.问所有可能的N 值之和是多少?

解分情况如下： (1)四条直线平行，则N = 0;(2)四条直线交于一点，则N = 1;(3)三条直线平行，与第四条直线均相交，则N = 3;(4)两条直线平行，另两条直线也平行，但相互不平行，则N = 4;(5)两条直线平行，另两条直线相交，且与平行直线均相交于不同交点，则N = 5;(6)四条直线均不平行，且交点互不相同，则N = 6.于是所有可能的N 值之和为19，故(D)正确.

9.A sequence of numbers is defined recursively by a1=1,andfor all n ≥3.Then a2019can be written aswhere p and q are relatively prime positive integers.What is p+q?

(A) 2020 (B) 4039 (C) 6057 (D) 6061 (E) 8078

解代入可得我们猜测可验证如下：于是， a2019=即有p = 3,q = 8075,p+q = 8078，故(E)正确.

10.The figure below shows 13 circles of radius 1 within a larger circle.All the intersections occur at points of tangency.What is the area of the region， shaded in the figure， inside the larger circle but outside all the circles of radius 1?

译文： 下图表示一个较大的圆内有13 个半径为1 的圆.所有的交点都发生在切点上.图中阴影为大圆内但在所有半径为1 的圆外部分，则阴影部分的面积是多少?

图3

解如图示， 分别取大圆的圆心O， 和上方三个小圆的圆心A,B,C， 连结OA,OB,OC,AB,AC,BC， 可知△OAC,△ABC 均为边长为2 的正三角形.于是即大圆半径为故所求面积为(A)正确.

11.For some positive integer k，the repeating base-k representation of the(base-ten)fractionis 0.23k=0.232323···k.What is k?

(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E)17

解由于两边同时乘以k2可得，整理可得7k2-102k-160 = 0，解得k = 16或(舍去)，故(D)正确.

译文： 不为1 的正实数x,y 满足log2x = logy16 和xy =64，则是多少?

解log2x = logy16 =从而4 =·log2y =(log264-log2y)·log2y =解得log2y = 3±于是log2x =因此=(log2x-log2y)2=20，故(B)正确.

13.How many ways are there to paint each of the integers 2， 3， …， 9 either red， green， or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

(A)144 (B)216 (C)256 (D)384 (E)432

译文： 有多少种方法可以把整数2， 3， …， 9 涂成红色、绿色或蓝色，使得每个数的颜色都不同于它所有真因子的颜色?

解依题意有，4 的颜色不同于2，6 的颜色不同于2 和3， 8 的颜色不同于2 和4， 9 的颜色不同于3， 分两种情况：(1) 2 和3 颜色相同， 则有3 种选择， 此时4、6 和9 均有2种选择， 8 只有1 种选择， 5 和7 是素数， 均有3 种选择， 共3×23×32=216 种;(2)2 和3 颜色不同，则有6 种选择，此时4 和9 均有2 种选择，6 和8 只有1 种选择，5 和7 仍各有3 种选择，共6×22×32=216 种.综合可得432 种方法，故(E)正确.

14.For a certain complex number c，the polynomial P(x)=(x2-2x+2)(x2-cx+4)(x2-4x+8)has exactly 4 distinct roots.What is|c|?

译文：设c是复数，多项式 P(x)=(x2-2x+2)(x2-cx+4)(x2-4x+8)恰好有4 个不同的复根，则|c|是多少?

解x2-2x+2 的两根为x1,2= 1±i， x2-4x+8的两根为x3,4= 2 ± 2i， 依题意可得， x1,x2,x3,x4就是P(x) 的四个不同的根， 即x2-cx+4 的两根只能为x1,2和x3,4中的各一个.若x2-cx+4 = (x-x1)(x-x4)，则c=x1+x4=3-i;若x2-cx+4=(x-x2)(x-x3)，则c=x2+x3=3+i.故都有(E)正确.

15.positive real numbers a and b have the property thatand all four terms on the left are positive integers， where log denotes the base 10 logarithm.What is ab?

(A)1052(B)10100(C)10144(D)10164(E)10200

解上式可化成100， 可知log a,log b 均为偶数的平方数.不妨设a ≤b， 解得log a = 64， log b = 100， 即a = 1064， b = 10100， 于是ab=10164，故(D)正确.

16.The numbers 1，2，…，9 are randomly placed into the 9 squares of a 3×3 grid.Each square gets one number，and each of the numbers is used once.What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

译文： 数字1 到9 被随机地放入到3×3 的九宫格中，每个格子放一个数，且每个数只使用一次.问每行每列的数字之和都是奇数的概率是多少?

解1 到9 共有5 个奇数4 个偶数.要使得一行(或列)的数字和为奇数，该行(或列)只能有1 个或3 个奇数，从而三行(或列)的奇数个数分配只能是311，131，或113.而5 个奇数可以随意排列，4 个偶数也随意排列，因此符合条件的排列有3×3×5!×4!种.而9 个数的全排列是9!种，故所求概率为(B)正确.

17.Let Skdenote the sum of the kth powers of the roots of the polynomial x3-5x2+8x-13.In particular， S0= 3，S1= 5 and S2= 9.Let a,b and c be real numbers such that Sk+1= aSk+ bSk-1+ cSk-2for k = 2,3,....What is a+b+c?

(A)-6 (B)0 (C)6 (D)10 (E)26

译文： 设Sk为多项式x3-5x2+8x-13 所有根的k 次方之和，特别地S0= 3，S1= 5，S2= 9.设有实数a,b,c 使得Sk+1= aSk+bSk-1+cSk-2对于k = 2,3,...均成立，则a+b+c 是多少?

解设x1,x2,x3是x3-5x2+8x-13 的三个根，根据根与系数的关系，有又

即得a=5，b=-8，c=13，故a+b+c=10，(D)正确.

18.A sphere with center O has radius 6.A triangle with sides of length 15，15，and 24 is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere.What is the distance between O and the plane determined by the triangle?

译文： 设球O 的半径为6，一个三边长分别为15，15 和24 的空间三角形的每条边都和球相切.则点O 到三角形所在平面的距离是多少?

图4

解如图4 示，这是三角形所在的平面图形，AB =AC =15，BC =24，其内切圆圆心为P， 三个切点分别为D,E,F，连结AD,PE,PF， 则AD⊥BC， 从而BD = DC = 12，于是BE = BD = 12， AE = AB - BE = 3， AD =设内切圆半径为r， 则在Rt△PEA 中，有AP2= AE2+EP2，即(9-r)2= 32+r2，解得r = 4.又在球内△OPD 中，OP⊥PD，所以点O 到该平面的距离故(D)正确.

19.In △ABC with integer side lengths， cos A =cos B =and cos C =What is the least possible perimeter for △ABC?

(A)9 (B)12 (C)23 (D)27 (E)44

译文： △ABC 中， 边长均为整数， 且cos A =则△ABC 的周长最小是多少?

解根据余弦定理，有代入化简可得即=0，于是解得最小值为c = 4,b = 2,a = 3，周长为9，故(A)正确.

20.Real numbers between 0 and 1，inclusive，are chosen in the following manner.A fair coin is flipped.If it lands heads，then it is flipped again and the chosen number is 0 if the second flip is heads and 1 if the second flip is tails.On the other hand，if the first coin flip is tails，then the number is chosen uniformly at random from the closed interval[0,1].Two random numbers x and y are chosen independently in this manner.What is the probability that

译文： 用下列方式选出区间[0, 1]上的实数： 掷一枚均匀的硬币，如果正面朝上，就再掷一次，若第二次正面朝上则选数字0，若第二次反面朝上则选数字1;如果第一次就反面朝上，则在区间[0,1]上随机选择一个数字.x 和y 均是用这种方式随机独立地选出来的.问的概率是多少?

解设甲、乙两人掷硬币分别得到数字x 和y， 要使得则分如下情况： (1)甲连续掷出正面、正面， 乙连续掷出正面、反面， 此时x = 0,y = 1， 概率为(2)甲连续掷出正面、反面，乙连续掷出正面、正面， 此时x = 1,y = 0， 概率为甲连续掷出正面、正面，乙掷出反面，此时x = 0,y ∈[0,1]，但要才有效， 概率为甲连续掷出正面、反面， 乙掷出反面， 此时x = 1,y ∈[0,1]，但要才有效， 概率为甲掷出反面， 乙连续掷出正面、正面， 此时x ∈[0,1],y = 0，但要才有效， 概率为(6) 甲掷出反面， 乙连续掷出正面、反面， 此时x ∈[0,1],y = 1，但要才有效， 概率为甲掷出反面， 乙也掷出反面， 此时x,y ∈ [0,1]， 要符合条件， 则点(x,y) 必须落在阴影部分里， 如图示， 概率为故(B)正确.

图5

解由题意可得z2= i，z4= -1，z8= 1，从而z 的幂以8 为周期重复出现，于是z12+z22+z32+···+z122=z+z4+z9+z16+z25+z36+z49+z64+z81+z100+z121+z144=z+z4+z+1+z+z4+z+1+z+z4+z+1=6z，同理有因此原式故(C)正确.

22.Circles ω and γ，both centered at O，have radii 20 and 17， respectively.Equilateral triangle ABC， whose interior lies in the interior of ω but in the exterior of γ，has vertex A on ω，and综上可得， 所求概率为the line containing sideis tangent to γ.Segmentsandintersect at P，andThen AB can be written in the formfor positive integers m,n,p,q with gcd(m，n)=gcd(p，q)=1.What is m+n+p+q?

(A)42 (B)86 (C)92 (D)114 (E)130

译文： 圆ω 和圆γ 均以点O 为圆心，半径分别为20 和17.等边三角形ABC 位于圆ω 的内部但在圆γ 的外部，顶点A 在圆ω 上， 边BC 所在的直线与圆γ 相切.线段AO与BC 交于点P， 且则AB 的长度可以表示为其中m,n,p,q 均为正整数，且gcd(m，n)=gcd(p，q)=1.问m+n+p+q 是多少?

解如图示， 设BC 所在的直线与圆γ 相切于点E，连结CE,OE，作AD⊥BC 于点D， 则D 为BC 的中点， P 为DC 的中点.令AB = 4a，则BD = DC = 2a， DP = PC =于是由于△APD ～△OPE，得即解得因此故m = 80， n = 13， p = 34， q = 3，有m+n+p+q =130，(E)正确.

23.Define binary operations ⋄and Δ by a ⋄b = alog7(b)and aΔb =for all real numbers a and b for which these expressions are defined.The sequence(an)is defined recursively by a3= 3Δ2 and an= (nΔ(n-1))⋄an-1for all integers n ≥4.To the nearest integer，what is log7(a2019)?

(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12

译文： 定义二元运算⋄和Δ 如下： a ⋄b = alog7(b)，aΔb =其中a,b 是满足上式有意义的任何实数.定义递归数列(an)为a3=3Δ2，且an=(nΔ(n-1))⋄an-1，∀n ≥4.则与log7(a2019)最接近的整数是多少?

图6

解a3= 3Δ2 =a4= (4Δ3) ⋄a3== (5Δ4) ⋄a4=……， 由此可得因此log7(a2019)=log7log72019=log22019 ≈11，故(D)正确.

24.For how many integers n between 1 and 50， inclusive，isan integer? (Recall that 0!=1.)

(A)31 (B)32 (C)33 (D)34 (E)35

解由于若n 为素数， 则分子含有-1 个因子n， 而分母含有n 个n， 从而不是整数; 若n 为合数， 先引用一个结论：一定是整数.于是有当n ≥6 时，也是整数， 从而是整数; 但当n = 4 时，不是整数.因此，不符合条件的n值为2,3,4,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47，共16个，即剩下的34 个均满足条件，故(D)正确.

25.Let △A0B0C0be a triangle whose angle measures are exactly 59.999°,60°， and 60.001°.For each positive integer n define Anto be the foot of the altitude from An-1to line Bn-1Cn-1.Likewise， define Bnto be the foot of the altitude from Bn-1to line An-1Cn-1， and Cnto be the foot of the altitude from Cn-1to line An-1Bn-1.What is the least positive integer n for which △AnBnCnis obtuse?

(A)10 (B)11 (C)13 (D)14 (E)15

译文： 设△A0B0C0是一个内角恰好为59.999°,60°，60.001°的三角形.对于正整数n， 定义An为从An-1到直线Bn-1Cn-1上的高的垂足，类似的定义Bn为从Bn-1到直线An-1Cn-1上的高的垂足， Cn为从Cn-1到直线An-1Bn-1上的高的垂足.则使得△AnBnCn为钝角三角形的正整数n 最小是多少?

图7

解如图示，不妨设∠A0B0C0=59.999°，∠B0A0C0=60°，∠A0C0B0=60.001°， 点 O 为 △A0B0C0的垂心， 则 A0,B1,O,C1四点共圆，B0,A1,O,C1四点共圆，C0,B1,O,A1也四点共圆， 于是∠B1C1O = ∠B1A0O = 90°-60.001°= 29.999°， ∠A1C1O = ∠A1B0O = 29.999°， 从而∠A1C1B1= 59.998°; 同理∠C1A1O = ∠C1B0O =∠B1C0O = ∠B1A1O = 30°， ∠C1A1B1= 60°; 此时∠A1B1C1=180°-∠C1A1B1-∠A1C1B1=60.002°.

由此可见，有关系式

成立，于是可得下表：

n 1 2 3 4 5 6 7 8∠CnAnBn 60°60°60°60°60°60°60°60°∠AnBnCn 60.002°59.996°60.008°59.984°60.032°59.936°60.128°59.744°∠BnCnAn 59.998°60.004°59.992°60.016°59.968°60.064°59.872°60.256°

n 9 10 11 12 13 14 15∠CnAnBn 60°60°60°60°60°60°60°∠AnBnCn 60.512°58.976°62.048°55.904°68.192°43.616°92.768°∠BnCnAn 59.488°61.024°57.952°64.096°51.808°76.384°27.232°

当n=15 时，△AnBnCn为钝角三角形，故(E)正确.