浅析2018年基于数学史的高考数学试题

广东省深圳市第七高级中学(518000) 关嘉欣

《2017年普通高中数学课程标准》[1]明确指出数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能，数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法;提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.数学文化作为数学知识的一部分，在其中发挥着重大作用.

与此同时，教育部《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用”，并提出“在数学试题中增加数学文化的内容”.数学文化在高考数学试题中的渗透主要体现在数学史、数学精神、数学应用三个方面.作为数学文化的一部分，数学史融入高考数学试题无疑能够发挥育人的功能，并且可以促进数学教育工作者对数学史的学习与研究，丰富他们的数学史素材，提高他们的数学史素养，改变数学教育对数学史“高评价、低应用”的现象.

那么，2018年全国各地高考数学试题应用了哪些数学史材料? 采用了哪些提出问题的策略? 有什么特点? 本文试图对此作出分析，并由此得到启示.

一、试题基本情况分析

2018年全国各地高考数学试题中基于数学史的试题的基本情况如表1 所示.从中可见，今年共有5 道蕴含数学史的题目，其中立体几何、数列、方程、平面几何与概率均有涉及.从取材来看，有2 道取材于中国古代数学典籍，有1 道取材于数学与音乐，有1 道取材于数学图形，有1 道取材于数学思想.

表1 2018年全国各地基于数学史的高考试题情况

下面根据数学史与数学知识的关联程度，借鉴史嘉老师在《2015年“数学文化高考题”分类欣赏》[2]一文中的分类方法： 点缀式、复制式、顺应式和内隐式对上述高考试题进行分类赏析.

1.点缀式

试题明显具有数学史料特征，如数学家(学派)、数学名著、数学事件、数学图片、人文背景等材料，起到引入或辅助的作用，使试题置于一定的情境，不显得突兀，同时尽可能多地传递文化信息等.

试题1(2018年高考上海卷第15 题)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱， 如图1， 若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点， 以AA1为底面矩形的一边， 则这样的阳马的个数是( )

图1

A.4 B.8 C.12 D.16

赏析《九章算术》是一部几代学者整理、删补和修订而成的中国古代数学典籍，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.近几年，它蕴含的数学知识涉及面广，在高考题中频繁出现.

而本题中阳马的概念出自《九章算术》商功卷， 早在2015年湖北理科第19 题中就崭露头角.命题者别具匠心，借助阳马的概念考查学生对线面垂直的掌握程度.既把中国传统文化渗透其中，引导学生热爱数学文化，增强民族自信心，又能考查学生的数学能力.

试题2(2018年高考全国II 卷理科第8 题)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是( )

赏析哥德巴赫是18 世纪的一位业余数学爱好者，是数学大师欧拉的朋友.1742年6月7日， 他写信给欧拉， 提出：每一个不小于6 的偶数都可以表示为2 个奇素数的和.同年6月30日，欧拉在回信中表示，这个猜想是正确的，但无力给出证明.到了1770年，华林将这个猜想公诸于世，并附带提出： 每一个不小于9 的奇数都可以表示为3 个奇素数的和.后人把这两个猜想并称为“哥德巴赫猜想”.而本题中的猜想陈述版本：“任一大于2 的偶数都可以写成两个质数之和”出自欧拉.哥德巴赫猜想在数学界有着重大影响，吸引无数数学家们前仆后继，沈元教授更是形象地比喻说：“数学是自然科学的皇后，数论是皇后的皇冠，而哥德巴赫猜想则是皇冠上的一颗明珠! ”

1957年9月，陈景润奉调中国科学院，参与华罗庚先生领导的“哥德巴赫猜想讨论班”.正因为有着良好的学术氛围和丰富的图书资源，加上在带病的情况下仍坚持每天12 小时的拼搏，陈景润终于在1973年于《中国科学》上发表《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》论文，此举立即轰动整个数学界，并誉为“陈氏定理”，至今仍保持世界领先地位.[3]

本题以此为背景，灵活地考查了学生对古典概型的理解，也能让考生从中了解数学文化与中国近代数学家，增强民族自豪感，从而激励自我不停奋斗.

2.复制式

试题直接采用数学典籍中的数学问题和解法或证法，引用数学家(学派)故事、数学名题、数学名著中的原文等.若是中国古典数学史料，问题所用语言常会是文言文，但经过命题者的翻译或简化处理，对试题的理解基本没有障碍.

试题3(2018年高考浙江卷第11 题)我国古代数据著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一， 值钱五;鸡母一， 值钱三; 鸡雏三， 值钱一.凡百钱， 买鸡百只， 问鸡翁、母、雏各几何? 设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x,y,z，则当z =81 时，x=____，y =____.

赏析本题直接复制数学典籍《张邱建算经》中的百鸡问题.书中给出了此题的三组答案， 也是其所有自然数解.即： 鸡翁四只、鸡母十八只、鸡雏七十八只，鸡翁八只、鸡母十一只、鸡雏八十一只，鸡翁十二只、鸡母四只、鸡雏八十四只.至于解法，术文十分简略： 鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三.即得.目前一般认为术文给出了各组解答之间的增减关系，但缺少了求出特解的方法.其实术文也未给出求增减率的方法， 可能是因为张邱建认为这是不需要详细说明的.[4]

而本题中采用的解法是学生所熟悉的代数方法，设元列不定方程，通过方程来求出未知解.本题不仅让学生了解到中国古代数学典籍《张邱建算经》与颇具中国传统数学特色的计算方法——百鸡术，还感受到设元列方程的代数方法对解决数学问题的便捷性.

3.顺应式

试题对涉及的数学知识、数学史料等适当地进行科学改编，或为所要考查的数学内容创设一定的生活情境，使其更好地考查相关数学知识、数学思想方法和数学能力，也更好地适应考卷的基本要求和考生的应有水平.

图2

试题4(2018年全国I 卷理科第10 题)图2 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则( )

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

赏析本题出自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形和由此得到的月牙定理： 直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.对学生而言，这道题难度不高，虽然披上了“几何概型”的外衣，但本质上只是利用勾股定理证明以两直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积.

虽然在如今看来这个证明显得轻而易举，但在当时，这个图形是数学家们苦苦寻求的解决化月牙形为方问题的钥匙，是数学上的一大成绩.故此，评论家普洛克洛斯以他5 世纪的眼光认为希波克拉底“作出了月牙形的等面积正方形，并在几何学中做出过许多其他发现，如果说那个时代有一位作图的天才，那一定非他莫属.”

试题5(2018年高考北京卷理科第4 题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

赏析明朝万历年间，皇室家族中的朱载堉完成了世界上最早的十二平均律的发现.他以珠算开方的方法，求得律制上的等比数列，具体说来就是： 用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1 尺，求出低八度的音高弦长为2 尺，然后将公平自乘12 次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原.他用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题.在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin Mersenne 在(1636年)其所著《谐声通论》中发表相似的理论.

事实上，除了十二平均律，数学与音乐之间还有着很多密切的联系： 如1： 2 是八度;2： 3 是完全五度;3： 4 是完全四度;4： 5 是大三度等等.发现数与音程大小之间的关系，在人类文化史上具有十分重要的意义.[5]

而本题重现当年朱载堉确定十二平均律的数学方法，既考查了学生对等比数列的掌握情况，也能让考生感受到数学与音乐之间的联系.

二、试题命制改进启示

根据以上分析，我们可以看到2018年基于数学史的高考数学试题所蕴含的数学史料更为丰富，既有中国传统文化，也注意吸收世界数学文化的精华，引导学生胸怀祖国，放眼世界.与往年相比，考查形式也更为多样，包含点缀式、复制式与顺应式.但在数学文化试题命制上，还有很多可以改进的地方：

1.数学史料与数学知识的融合可以更自然一些.融入数学史的高考数学试题既为了考查学生对数学知识的掌握，也希望引导学生了解数学史，热爱数学文化，关注数学之美，提高数学素养.但如果只是为了数学史而数学史，让数学史在题目中仅仅起到一个点缀作用，导致考查的知识难度过低或过高，都是不适合的.比如上文的试题4，该题本质上考查的是勾股定理，更多是偏向初中知识而非高中知识，虽然这道题涉及了数学史，但并没有很好地发挥它该有的价值.因此，在命制融入数学史的高考数学试题时，命题者需要挖掘更丰富的数学史料，使其与高中生学习的数学知识更好地融合在一起.

2.基于数学史的高考数学试题命制可以运用更为灵活的提问策略.命题者可以从史料出发，创设现实生活情境，凸显数学的应用性;结合教材所学内容，对问题条件与结论适当进行改编与扩充，拓展多个考点的考查.并非在题目中出现明确的数学史料才叫融入， 真正的融入应当能给人一种“初看不奇，细看惊喜”的感觉.

3.基于数学史的高考数学试题命制需要发挥更多的数学史教育价值.高考题中的数学史材料可以引导学生运用有关数学概念、定理、思想和方法来解决问题，从而体现“知识之谐”与“方法之美”;可以提升学生的数学阅读与理解能力，并能把实际问题转化为数学问题;可以呈现数学的问题之源、数学的社会功能以及数学与现实世界的联系等，从而体现“文化之魅”;还可以呈现数学家的探索与挫折，从而实现“德育之效”.